浙江省宁波市北仑区2022届初中学业水平模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：中考模拟

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一、选择题 (本大题共10小题, 每小题4分, 共40分.)

1. -5 的绝对值是（）

A、-5 B、 $- \frac{1}{5}$ C、5 D、 $\frac{1}{5}$

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2. 接种新冠疫苗不仅可以预防新冠病毒感染，也可以预防重症，降低死亡率. 经统计，北仑区到2022年2月份为止已有约81万人完成新冠疫苗接种. 其中81万人用科学记数法可表示为（）

A、 $81 \times 1 0^{4}$ 人 B、 $8.1 \times 1 0^{4}$ 人 C、 $8.1 \times 1 0^{5}$ 人 D、 $81 \times 1 0^{5}$ 人

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3. 要使代数式 $\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ 有意义， $x$ 的取值应满足（）

A、 $x \geq 1$ B、 $x > 1$ C、 $x \neq 1$ D、 $x \neq 0$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 ${(x^{5})}^{2} = x^{7}$ B、 $5 x - x = 4 x$ C、 $(5 x)^{2} = 25 x$ D、 $x^{2} \cdot x^{5} = x^{10}$

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5. 由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某校食堂每天为学生提供A， B两种套餐，如果甲，乙两人同去该食堂就餐，那么甲，乙两人选择同套餐的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 在四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C ， A B = 13 ， B C = 5 ， A D = 10$ ，点 $M$ 是对角线 $B D$ 的中点，则 $C M$ 的长为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{13}{2}$ C、6 D、5

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8. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， C、D是 $⊙ O$ 上的点， $∠ C D B = 1 5^{∘}$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，则 $s i n E$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 如图，直线 $y = 2 x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象交于A、B两点，过点 $A$ 作 $A C ⊥ A B$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，若 $△ O A C$ 的面积为5，则 $k$ 的值为（）

A、2 B、4 C、5 D、8

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10. 用面积为 $1 ， 3 ， 4 ， 8$ 的四张长方形纸片拼成如图所示的一个大长方形，则图中阴影的面积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{11}{12}$ D、 $\frac{11}{6}$

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二、填空题（每小题5分, 共30分)

11. 分解因式： 4x²-100=.

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12. 如图，将线段 $A B$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $4 5^{∘}$ ，得到线段 $A C$ ，若 $A B = 6$ ，则点 $B$ 经过的路径 $\overset{⌢}{B C}$ 的长度为.

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13. 方程 $\frac{2 x}{x - 1} - \frac{4}{1 - x} = 1$ 的解为.

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14. 北仑梅山所产的草莓柔嫩多汁，芳香味美，深受消费者喜爱。有一草莓种植大户，每天草莓的采摘量为300千克，当草莓的零售价为22元/千克时，刚好可以全部售完。经调查发现，零售价每上涨1元，每天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购走，则当草莓零售价为元时，该种植户一天的销售收入最大。

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15. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，恰与 $C D$ 相切于点 $E$ ，连结 $O D ， O C$ ，若梯形 $A B C D$ 的面积是 $24 ， O D$ 与 $O C$ 的长度和为13 ，则 $C D$ 的长为.

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，点 $E$ 是 $A D$ 的中点，点 $F$ 是对角线 $B D$ 上一动点， $∠ A D B = 3 0^{∘}$ ，连结 $E F$ ，作点 $D$ 关于直线 $E F$ 的对称点 $P$ ，直线 $P E$ 交 $B D$ 于点 $Q$ ，当 $△ D E Q$ 是直角三角形吋， $D F$ 的长为.

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三、解答题

17.

(1)、计算： $(2 x - 1)^{2} - (1 + 2 x) (1 - 2 x)$

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} - x + 1 \geq 0 \\ \frac{2 x + 3}{5} > - 1 \end{array}$

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18. 如图，在边长为1的正方形网格内，点A、B、C、 D均在格点处，移动点A、B、C、 D的其中一点，使这点仍落在格点处，把原四边形 $A B C D$ 变形成一个与它面积相等的三角形或平行四边形.

(1)、变形成三角形，

(2)、变形成平行四边形(非矩形)

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19. 如图，抛物线 $y = m x^{2} + \frac{5}{2} m x + n$ 经过点 $A (- 4 ， 0)$ 和点 $B (0 ， 3)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若将上述抛物线向右平移 $a$ 个单位，此时点 $A$ 平移到点 $D$ ，点 $B$ 平移到点 $C$ ，连接 $A B ， B C ， C D$ ，若四边形 $A B C D$ 是菱形，求平移后抛物线的解析式.

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20. 2021年，中国航天人在太空又书写了新的奇迹. 为增进学生对航天知识的了解，某校开展了相关的宣传教育活动. 现随机抽取部分学生进行航天知识竞赛活动，并将所得数据绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图.

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次抽样的样本容量为， “良好"所在扇形的圆心角的度数是.

(2)、补全条形统计图

(3)、若该校共有学生1500人，估计该校学生在这次竞赛中获得良好及以上的学生有多少人?

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21. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥. 如图，该河旁有一座小山，山高 $B C = 100 m$ ，坡面 $A B$ 的坡比为 $1 ： 0.7$ (注：坡比是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比)，点C， $A$ 与河岸 $E ， F$ 在同一水平线上，从山顶 $B$ 处测得河岸 $E$ 和对岸 $F$ 的俯角 $∠ D B E ， ∠ D B F$ 分别为 $4 5^{∘} ， 2 8^{∘}$ .

(参考数据： $s i n 2 8^{∘} \approx 0.47 ， c o s 2 8^{∘} \approx 0.88$ ， $t a n 2 8^{∘} \approx 0.53$ )

(1)、求山脚 $A$ 到河岸 $E$ 的距离；

(2)、若在此处建桥，试求河宽EF的长度. (结果精确到 $0.1 m$ )

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22. 甲、乙两地间的直线公路长为600千米，一辆轿车与一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶。1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离 $y$ (千米)与轿车所用的时间 $x$ (小时) 的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
如图所示，请结合图像解答下列问题：

(1)、货车的速度是千米/时， $t$ 的值是，轿车的速度是千米/时；

(2)、求轿车距其出发地的距离 $y$ (千米)与所用时间 $x$ (小时)之间函数表达式；

(3)、求货车出发多长时间两车相距120千米.

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23. 如图

(1)、【根底巩固】
如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 上一点， $∠ A C D = ∠ B$ . 求证： $A C^{2} = A D \cdot A B$ .

(2)、【尝试应用】
如图2，在菱形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别为 $B C ， D C$ 上的点，且 $△ E A F = \frac{1}{2} △ B A D$ ，射线 $A E$ 交 $D C$ 的延长线与点 $M$ ，射线 $A F$ 交 $B C$ 的延长线于点 $N$ . 若 $A F = 4 ， C F = 2$ . $A M = 10$ .

求： ①CM的长；

②FN的长.

(3)、【拓展进步】
如图3，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， ∠ B = 6 0^{∘}$ ，以点 $B$ 为圆心作半径为3的圆，其中点 $P$ 是圆上的动点，请直接写出 $P D + \frac{1}{2} P C$ 的最小值.

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24. 有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.

(1)、如图1，在等邻边互补四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ，且 $A D / / B C ， B C = 2 A D$ ，则 $∠ B =$ .

(2)、如图2，在等邻边互补四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 9 0^{∘}$ ，且 $B C = C D$ ，求证： $A B + A D = \sqrt{2} A C$

(3)、如图3，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，连结 $D O$ 并延长分别交 $A C ， B C$ 于点 $E ， F$ ，交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，若点 $E$ 是 $A C$ 的中点， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{B G} ， t a n ∠ A B C = \frac{24}{7} ， A C = 6$ ，求 $F G$ 的长.

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