安徽省安庆市2021-2022学年九年级下学期综合素质调研数学试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：开学考试

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一、单选题

1. 下列二次函数中，对称轴为直线x = 1的是（）

A、y=-x²+1 B、y= $\frac{1}{2}$ (x–1)² C、y= $\frac{1}{2}$ (x+1)² D、y =-x²-1

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2. 若 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ ，则 $\frac{x + y}{y}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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3. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $t a n A = \frac{4}{3}$ ，则 $s i n B$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 若点 $A (x_{1} ， - 5) ， B (x_{2} ， 2) ， C (x_{3} ， 5)$ 都在反比例函数 $y = \frac{10}{x}$ 的图象上，则 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ C、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$

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5. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）

A、2对 B、3对 C、4对 D、5对

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作 $E F / / B C$ ，交AD于点F，过点E作 $E G / / A B$ ，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）

A、 $\frac{A E}{E C} = \frac{E F}{C D}$ B、 $\frac{E G}{A B} = \frac{E F}{C D}$ C、 $\frac{A F}{F D} = \frac{B G}{G C}$ D、 $\frac{C G}{B C} = \frac{A F}{A D}$

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7. 某气球内充满了一定质量 $m$ 的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 $p$ （单位： $kPa$ ）是气体体积 $V$ （单位： $m^{3}$ ）的反比例函数： $p = \frac{m}{V}$ ，能够反映两个变量 $p$ 和 $V$ 函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知如图： $O A = O B = O C$ ，且 $∠ A C B = 25 °$ ，则 $∠ A O B$ 的大小是（）

A、45° B、50° C、55° D、65°

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， D、E在斜边AB边上， $∠ D C E = 45 °$ ，若 $A E \cdot B D = 8$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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10. 如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝ $\frac{1}{4}$ x²﹣1上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则OP﹣PA值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 抛物线 $y = a x^{2} + 3 x - 1$ 的顶点在x轴上，那么 $a =$ .

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12. 反比例函数 $y = \frac{7}{x}$ 图象与正比例函数 $y = k x$ 图象交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}$ 的值为.

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13. 如图，在扇形AOB中， $∠ A O B = 90 °$ ，点E在弧AB上，点F在OB上， $∠ A E F = 90 °$ ，若 $E F = 6$ ， $A E = 8$ ，则扇形AOB半径为.

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14. 如图.直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}$ 与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段AB上，动点Q在线段OA上、连结OP，且满足 $∠ B O P = ∠ O Q P$ ，则当 $∠ P O Q =$ 度时，线段OQ的最小值为.

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三、解答题

15. 计算： $| - 1 | - \frac{1}{2} \sqrt{8} + 6 c o s 30 ° - {(π - 2021)}^{0}$ .

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16. 如图，已知直钱 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 交于A，E两点，与x轴交于B，C两点，点B的坐标为 $(1 ， 0)$ ，求该抛物线对应的函数表达式.

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17. 如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ (k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B两点.

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ (k≠0)的值时，写出自变量x的取值范围.

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为边 $A D$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，且 $∠ B E F = 90 °$ ，延长 $E F$ 交 $B C$ 的延长线于点 $G$ ．

(1)、求证：△ $A B E$ ∽△ $E G B$ ．

(2)、若 $A B = 6$ ，求 $C G$ 的长．

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19. 如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．(结果用含有根号的式子表示)

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20. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 3)$ ， $C (2 ， 4)$ .

(1)、请作出 $△ A B C$ 绕O点逆时针旋转90°的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并求出线段AB扫过的面积.

(2)、以点O为位似中心，将 $△ A B C$ 扩大为原来的2倍，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ， $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 在y轴的左侧.

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21. 如图，AB是 $⊙ O$ 的弦，点C是在过点B的切线上，且 $O C ⊥ O A$ 且交AB于点P.

(1)、求证： $C P = C B$

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $2 \sqrt{3}$ ， $A B = 6$ 求证： $△ P B C$ 为等边三角形.

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22. 已知函数 $y = x^{2} + (m + 1) x + m$ （m为常数），问：

(1)、无论m取何值，该函数的图象总经过x轴上某一定点，该定点坐标为；

(2)、求证：无论m为何值，该函数的图象顶点都在函数 $y = - {(x + 1)}^{2}$ 图象上：

(3)、若抛物线 $y = x^{2} + (m + 1) x + m$ 与x轴有两个交点A、B，且 $1 < m \leq 4$ ，求线段AB的最大值.

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23. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.

(1)、如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作 $O E ⊥ B C$ ，求证： $O E = \frac{1}{2} C D$ .

(2)、如图②，若 $A B ∥ C D$ ，过点O作 $E F ∥ A B$ 分别交BC、AD于点E，F.求证： $\frac{E F}{A B} + \frac{E F}{C D} = 2$ .

(3)、如图③，若OC平分 $∠ A O B$ ， D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作 $M N ∥ O B$ 交OA于一点N，若 $O D = 8$ ， $O E = 6$ ，直接写出线段MN长度.

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