山西省太原市2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，那么下列 $n$ 的取值中，能使 $i^{n} = 1$ 成立是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 已知函数 $f (x) = s i n x - c o s x$ ，则 $f^{'} (x) =$ （）

A、 $c o s x - s i n x$ B、 $s i n x - c o s x$ C、 $c o s x + s i n x$ D、 $- c o s x - s i n x$

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3. 用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”时，有如下三个步骤：
① $A + B + C = 90 ° + 90 ° + C > 180 °$ ，这与三角形内角和为 $180 °$ 矛盾，故假设错误.②所以一个三角形不能有两个直角.③假设 $△ A B C$ 有两个直角，不妨设 $A = B = 90 °$ .上述步骤正确的顺序为（）

A、③②① B、①②③ C、①③② D、③①②

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4. 已知 $a \in R$ ，且 $\frac{2 + a i}{1 + i} = - 2 i$ ，那么 $a =$ （）

A、-2 B、2 C、4 D、-4

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5. 函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - \ln x$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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6. 类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得到空间中下列猜想：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行．其中结论正确的是（）

A、①②④ B、②③④ C、②③ D、①④

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7. 已知函数 $g (x)$ 为可导偶函数， $f (x) = g (x) + c$ （ $c$ 为常数），若 $f^{^{'}} (1) = 2$ ，则 $f^{'} (- 1) =$ （）

A、-2 B、-1 C、2 D、0

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8. 已知甲､乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶，甲车､乙车的速度曲线分别为 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ （如图所示）.那么对于图中给定的 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ ， $[0 ， t_{0}]$ 上两速度曲线所成面积为 $S_{1}$ ， $[t_{0} ， t_{1}]$ 上两速度曲线与 $t = t_{1}$ 所成面积为 $S_{2}$ 且 $S_{1} > S_{2}$ ，下列判断中一定正确的是（）

A、在 $[0 ， t_{0}]$ 时间内，甲乙两车行驶的路程相同 B、在 $[0 ， t_{1}]$ 时间内，甲车行驶的路程比乙车远 C、在 $t_{0}$ 时刻，甲乙两车的加速度相同 D、在 $t_{1}$ 时刻后，甲车行驶的路程比乙车远

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9. 某单位在一次团建时，组织了一次寻宝活动，参加活动的人从 $A$ 点出发，到 $E$ 点停止，途中要在 $B$ ， $C$ ， $D$ 三个藏宝地点找到宝物.已知各点之间的路线距离（单位：百米）见下表.若每个藏宝地点只经过一次，那么寻宝路线的最短距离是（）

A
B
C
D
E
A
0
5
4
5
6
B
5
0
7
6
2
C
4
7
0
9
8.6
D
5
6
9
0
5
E
6
2
8.6
5
0

A、23 B、22 C、21 D、20.6

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10. 已知直线 $y = a$ 与函数 $y = 2 x + 2$ 和 $y = x + l n x$ 的图象分别交于点 $A$ ， $B$ ，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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11. 某公司制造了一个人工智能机器人，程序设计师的程序是让机器人每一秒前进一步或后退一步，并且以先前进3步，然后再后退2步的规律前进.如果将机器人放在数轴的原点，面向数轴的正方向前进（1步的距离为一个单位长度），令 $P (n)$ 表示第 $n$ 秒机器人所在位置的坐标，记 $P (0) = 0$ ，则 $P (2021) =$ （）

A、403 B、404 C、405 D、406

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12. 已知实数 $a > 0$ ， $b > - 1$ ， $a \neq 1$ ，且满足 $l n (b + 1) = \frac{a - 1}{\sqrt{a}}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $a - b > 1$ B、 $a - b < 1$ C、 $l o g_{a} (b + 1) < 1$ D、 $l o g_{a} (b + 1) > 1$

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二、填空题

13. 复数 $\frac{5}{i - 2}$ 的共轭复数是.

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14. 已知 $α ， β$ 是两个不同的平面，直线 $l$ 是平面 $α$ ， $β$ 外的一条直线，现有下列三个论断：① $α ⊥ β$ ；② $l / / α$ ；③ $l ⊥ β$ .请以其中两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

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15. 如图所示曲线是函数 $f (x) = x^{3} - x^{2}$ 图象的一部分，则图中阴影部分的面积为.

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16. 已知函数 $f (x) = l n (x + a) + x^{2}$ 存在极值，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = 1 + x i ， z_{2} = x + 2 i$ ， $x \in R$ .

(1)、若 $z_{1} + z_{2}$ 在复平面内对应的点在第二象限，求 $x$ 的取值范围；

(2)、证明： $z_{1} z_{2}$ 不是实数.

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18. 已知函数 $f (x) = x l n x - x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的值域．

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19. 已知三个正数 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列，实数 $x$ ， $y$ 分别为 $a$ 与 $b$ 和 $b$ 与 $c$ 的等差中项.证明：

(1)、 $a + c ⩾ 2 b$ ；

(2)、 $\frac{a}{x} + \frac{c}{y} = 2$ .

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} \cdot a_{n}$ ， $a_{1} = 1$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ，并猜想 $a_{n} (n \in N_{+})$ ；

(2)、用数学归纳法证明你的猜想.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 ${S_{n}}^{2} - (a_{n} + 2) S_{n} + 1 = 0$ .

(1)、求 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，并猜想 $S_{n} (n \in N_{+})$ ；

(2)、用数学归纳法证明你的猜想；

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - k x$ .

(1)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于任意 $x ⩾ 0$ ，不等式 $f (x) ⩾ 1$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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23. 已知 $f (x) = a x^{3} - 3 (a + 1) x^{2} + 12 x + 3 (a < 1)$ .

(1)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、是否存在负实数 $a$ ，使得当 $x \in [- 1 ， 0]$ 时函数 $f (x)$ 有最小值 $- 3$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由.

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	A	B	C	D	E
A	0	5	4	5	6
B	5	0	7	6	2
C	4	7	0	9	8.6
D	5	6	9	0	5
E	6	2	8.6	5	0