山西省怀仁市2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数z满足 $(1 + i) z = | \sqrt{3} - i |$ ，则z的虚部为（）

A、-1 B、-2 C、 $- i$ D、 $- 2 i$

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2. 下列计算错误的是（）

A、 $\int_{- π}^{π} sin x d x = 0$ B、 $\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x = \frac{π}{4}$ C、 $\int_{0}^{1} 2 d x = 1$ D、 $\int_{- 1}^{1} x^{2} d x = 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x$

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3. 用反证法证明命题：“若函数 $f (x) = x^{2} + p x + q$ ，那么 $| f (1) | ， | f (2) | ， | f (3) |$ 中至少有一个不小于 $\frac{1}{2}$ "时，反设正确的是（）

A、假设 $| f (1) | ， | f (2) | ， | f (3) |$ ，都不小于 $\frac{1}{2}$ B、假设 $| f (1) | ， | f (2) | ， | f (3) |$ ，都小于 $\frac{1}{2}$ C、假设 $| f (1) | ， | f (2) | ， | f (3) |$ ，至多有两个小于 $\frac{1}{2}$ D、假设 $| f (1) | ， | f (2) | ， | f (3) |$ ，至多有一个小于 $\frac{1}{2}$

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4. 用数学归纳法证明： $1 + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + ⋯ + \frac{1}{1 + 2 + 3 + ⋯ + n} = \frac{2 n}{n + 1}$ 时，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 等号左边需要添加的项是（）

A、 $\frac{1}{k (k + 1)}$ B、 $\frac{2}{k (k + 2)}$ C、 $\frac{1}{(k + 1) (k + 2)}$ D、 $\frac{2}{(k + 1) (k + 2)}$

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5. 设0＜a $＜ \frac{1}{3}$ ，随机变量X的分布列为：
X
﹣2
﹣1
1
2
P
$\frac{1}{3}$
a
$\frac{1}{3} -$ a
$\frac{1}{3}$
则当a在 $(0 ， \frac{1}{3})$ 增大时，（）

A、D（X）增大 B、D（X）减小 C、D（X）先增大后减小 D、D（X）先减小后增大

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6. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 $\sqrt{b^{2} - a c} < \sqrt{3} a$ ”索的因应是（）

A、 $a - b > 0$ B、 $a - c > 0$ C、 $(a - b) (a - c) > 0$ D、 $(a - b) (a - c) < 0$

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7. 某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A校，乙、丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为（）

A、36 B、96 C、114 D、130

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8. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之和为 $S_{n}$ ，则一定有 $S_{2 n - 1} = (2 n - 1) a_{n}$ 成立．若等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，类比等差数列的性质，则有（）

A、 $T_{2 n - 1} = (2 n - 1) + b_{n}$ B、 $T_{2 n - 1} = (2 n - 1) b_{n}$ C、 $T_{2 n - 1} = (2 n - 1) b_{n}$ D、 $T_{2 n - 1} = b_{n}^{2 n - 1}$

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9. 2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数 $X$ （单位：辆）均服从正态分布 $N (600 ， σ^{2})$ ，若 $P (500 < X < 700) = 0.6$ ，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）

A、 $\frac{1}{125}$ B、 $\frac{12}{125}$ C、 $\frac{61}{125}$ D、 $\frac{64}{125}$

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10. 如图，在直角坐标系 $x O y$ 中，一个质点从 $A (a_{1} ， a_{2})$ 出发沿图中路线依次经过 $B (a_{3} ， a_{4})$ ， $C (a_{5} ， a_{6})$ ， $D (a_{7} ， a_{8})$ ， $\dots$ ，按此规律一直运动下去，则 $a_{2017} + a_{2018} + a_{2019} + a_{2020} =$ （）

A、2017 B、2018 C、2019 D、2020

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11. 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线 $O L$ 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线 $O K L$ 时，表示收入完全不平等.记区域 $A$ 为不平等区域， $a$ 表示其面积， $S$ 为 $△ O K L$ 的面积．将 $G i n i = \frac{a}{S}$ ，称为基尼系数．对于下列说法：
① $G i n i$ 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为 $y = f (x)$ ，则对 $\forall x \in (0 ， 1)$ ，均有 $\frac{f (x)}{x} > 1$ ；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 $y = 1 - \sqrt{1 - x^{2}} (x \in [0 ， 1])$ ，则 $G i n i = \frac{π}{2} - 1$ ；其中正确的是：（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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12. 设曲线 $y = c o s x$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴、直线 $x = \frac{π}{6}$ 围成的封闭图形的面积为 $b$ ．若 $g (x) = 2 l n x - 2 b x^{2} - k x$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. （x²+ $\frac{1}{x}$ ）⁶的展开式中常数项是．（用数字作答）

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14. 已知在复平面上的 $▱ A B C D$ 中， $\vec{A C}$ 对应的复数为 $6 + 8 i$ ， $\vec{B D}$ 对应的复数为 $- 4 + 6 i$ ，则向量 $\vec{D A}$ 对应的复数为.

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15. 在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量 $X ~ B (n ， p)$ ，记 $p_{k} = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k}$ ， $k = 0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n$ .在研究 $p_{k}$ 的最大值时，小组同学发现：若 $(n + 1) p$ 为正整数，则 $k = (n + 1) p$ 时， $p_{k} = p_{k - 1}$ ，此时这两项概率均为最大值；若 $(n + 1) p$ 为非整数，当 $k$ 取 $(n + 1) p$ 的整数部分，则 $p_{k}$ 是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为的概率最大.

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16. 如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依次类推，则该数表中，第n行第1个数是.

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三、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $A D$ 、 $P B$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $P E ⊥ B C$ ；

（Ⅱ）求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

（Ⅲ）求证： $E F //$ 平面 $P C D$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ n a_{n} = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项之和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{1}{3}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = a^{x} + s i n b - \frac{3}{x + 1} (a ， b \in R ， a > 1)$ 的图象过点 $(0 ， - 1)$ ．
求证：

(1)、函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上为增函数；

(2)、用反证法证明方程 $f (x) = 0$ 没有负根．

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20. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：

等级

标准果

优质果

精品果

礼品果

个数

10

30

40

20

(1)、若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）

(2)、用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个， $X$ 表示抽取的是精品果的数量，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ．

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21. 椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线 $P A$ 、 $P B$ 分别与y轴交于点M，N，

(1)、求证： $\vec{A N} \cdot \vec{B M}$ 为定值 $b^{2} - a^{2}$ ．

(2)、若将双曲线与（1）中的椭圆类比，试写出得到的命题，并判定其真假（不要求给出证明过程）．

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22. “公平正义”是构建社会主义和谐社会的重要特征之一，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？
某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布）．考试后考生考试成绩的部分统计结果如下：
考试平均成绩是180分，360分及以上的高分考生有30名．

(1)、最低录取分数是多少？（结果保留为整数）

(2)、考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．
参考资料：①当 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ 时，令 $Y = \frac{X - μ}{σ}$ ，则 $Y ∼ N (0 ， 1)$ ．
②当 $Y ∼ N (0 ， 1)$ 时， $P (Y \leq 2.17) \approx 0.985$ ， $P (Y \leq 1.28) \approx 0.900$ ， $P (Y \leq 1.09) \approx 0.863$ ， $P (Y \leq 1.04) \approx 0.85$ ．

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X	﹣2	﹣1	1	2
P	$\frac{1}{3}$	a	$\frac{1}{3} -$ a	$\frac{1}{3}$

等级	标准果	优质果	精品果	礼品果
个数	10	30	40	20