山东省泰安肥城市2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $y = s i n x$ 的导数是（）

A、 $s i n x$ B、 $- c o s x$ C、 $c o s x$ D、 $- s i n x$

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2. 从6名同学中选3名同学进入学生会，一共有几种选法（）

A、20 B、30 C、40 D、120

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3. 函数 $y = c o s x$ 在点 $(- \frac{π}{2} ， 0)$ 处的切线方程是（）

A、 $y = x - \frac{π}{2}$ B、 $y = x + \frac{π}{2}$ C、 $y = - x + \frac{π}{2}$ D、 $y = - x - \frac{π}{2}$

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4. 函数 $f (x) = x^{3} - 27 x$ 在区间 $[- 4 ， 2]$ 上的最大值是（）

A、-46 B、-54 C、54 D、46

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5. 从4名男生3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，则选派方案共有（）

A、108种 B、210种 C、216种 D、270种

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6. 若 $(1 - \sqrt{2})^{5} = a + b \sqrt{2}$ （a，b为有理数），则a=（）

A、-25 B、25 C、40 D、41

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{a}{x}$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 16 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 8)$ C、 $(- \infty ， - 8)$ D、 $(- \infty ， 16]$

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8. 已知函数 $f (x) = x + 1 + a e^{- x}$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{e^{2}} ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{1}{e^{2}})$ C、 $(0 ， \frac{1}{e})$ D、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$

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二、多选题

9. 下列函数求导正确的是（）

A、 ${(2 x^{3} - 3 x^{2} + 5)}^{^{'}} = 6 x^{2} - 6 x$ B、 ${(e^{x} + l n x)}^{^{'}} = e^{x} + \frac{1}{x}$ C、 ${(c o s \frac{x}{3})}^{^{'}} = \frac{1}{3} s i n \frac{x}{3}$ D、 ${(\frac{2}{x} + \frac{4}{x + 1})}^{^{'}} = - \frac{2}{x^{2}} + \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$

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10. 若 ${(2 x + 1)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{10} x^{10}$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{0} = 0$ C、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{10} = 3^{10}$ D、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{10} = 3$

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11. 如图，小明、小红分别从街道的 $E$ 、 $F$ 处出发，到位于 $G$ 处的老年公寓参加志愿者活动，则（）

A、小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为3 B、小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35 C、若小明不经过 $F$ 处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为32 D、若小明先到 $F$ 处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为18

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + 1$ ，下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 图象关于点 $(0 ， 1)$ 成中心对称 B、若 $f (x) = 0$ 有三个不同的解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则 $x_{1} x_{2} x_{3} = - 1 ， x_{1} x_{3} - x_{2}^{2} = a$ C、对任意实数 $a$ ，函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 D、当 $a = - 1$ 时，若过点 $(3 ， m)$ 可以做函数 $y = f (x)$ 的三条切线，则 $m \in (- 2 ， 25)$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = x - c o s x$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的最大值为.

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14. 计算 $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + C_{6}^{2} =$ .

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15. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则关于“六艺”课程讲座不同排课顺序的种数为．（用数字作答）

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16. 已知函数 $f (x) = x + x l n x$ ， $g (x) = k x - k$ ，若 $k \in Z$ ，且 $f (x) > g (x)$ 对任意 $x > e^{2}$ 恒成立，则 $k$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 从下面二个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答．
①第 $3$ 项的二项式系数比第2项的二项式系数大9；②二项式的常数项为-20.
问题：在二项式 ${(x - \frac{1}{x})}^{n} (n \in N^{*} ， n \leq 8)$ 展开式中，____.

(1)、求奇数项的二项式系数的和；

(2)、求该二项展开式中 $x^{4}$ 的系数.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， 5)$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间.

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19. 一组学生共有 $7$ 人.

(1)、如果从中选出 $3$ 人参加一项活动，共有多少种选法？

(2)、如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有 $648$ 种，问该组学生中男、女生各有多少人？

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20. 如图，一个面积为 $6400$ 平方厘米的矩形纸板 $A B C D$ ，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为 $x$ 厘米，矩形纸板的两边 $A B ， A D$ 的长分别为 $a$ 厘米和 $b$ 厘米，其中 $a \geq b$ .

(1)、当 $a = 80$ ，求纸盒侧面积的最大值；

(2)、试确定 $a ， b ， x$ 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(2)、求证： $C_{n}^{1} f^{'} (1) + C_{n}^{2} f^{'} (2) + ⋯ + C_{n}^{n - 1} f^{'} (n - 1) > (2^{n} - 2) f^{'} (\frac{n}{2}) (n \in N^{*} ， n > 2)$ .

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22. 已知函数 $f (x) = 2 l n (x + 1) + a x + 1$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $g (x) = x - s i n x + 1 + (x^{2} + 2 x + 2) e^{s i n x - 1}$ ，求证：当 $a = 1$ 时， $f (x) < g (x)$ .

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