山东省青岛胶州市2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 某物体运动的位移 $s$ （单位：米）与时间 $t$ （单位：秒）之间的函数关系为 $s = 5 - 2 t^{2}$ ，则该物体在 $t = 2$ 时的瞬时速度为（）

A、-3米/秒 B、-8米/秒 C、8米/秒 D、3米/秒

查看试题解析
2. 某公司招聘了4名实习生，全部分配到企划部、销售部和服务部3个部门进行跟岗实习（每部门至少一人），则不同分配方法的种数为（）

A、36 B、72 C、54 D、108

查看试题解析
3. 已知随机变量X服从正态分布 $N (10 ， 2^{2})$ ，则 $D (3 X - 1)$ ＝（）

A、6 B、11 C、12 D、36

查看试题解析
4. 某机场某时降雨的概率为 $\frac{1}{5}$ ，在降雨的情况下飞机准点的概率为 $\frac{1}{10}$ ，则某时降雨且飞机准点的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{25}$ D、 $\frac{1}{50}$

查看试题解析
5. 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式 $(a + b)^{n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ 展开后的系数构成的三角形数阵，称做“开方做法本源”，这就是著名的“杨辉三角”，它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．某行中只有一项最大，且为252，该行是第（）行

A、12 B、11 C、10 D、9

查看试题解析
6. 某工厂产品合格的概率均为 $p$ ，各产品合格与否相互独立．设 $X$ 为该工厂生产的 $5$ 件商品中合格的数量，其中 $D (X) = 1.2$ ， $P (X = 2) < P (X = 3)$ ，则 $p =$ （）

A、0.7 B、0.6 C、0.4 D、0.3

查看试题解析
7. 如图，已知电路中有5个开关，开关 $S_{5}$ 闭合的概率为 $\frac{1}{3}$ ，其它开关闭合的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{15}{16}$ C、 $\frac{23}{24}$ D、 $\frac{4}{5}$

查看试题解析
8. 若函数 $y = f (x)$ 的图象上存在两个不同的点 $A ， B$ ，使得曲线 $y = f (x)$ 在这两点处的切线重合，称函数 $y = f (x)$ 为“自重合”函数．下列函数中是“自重合”函数的为（）

A、 $y = l n x + x$ B、 $y = e^{x} + 1$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = x - c o s x$

查看试题解析

二、多选题

9. 设函数 $f (x) = c o s x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 ${[f (\frac{π}{2})]}^{^{'}} = - 1$ B、 ${[\frac{f (x)}{x}]}^{^{'}} = \frac{- x s i n x - c o s x}{x^{2}}$ C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 处的切线方程为 $x + y - \frac{π}{2} = 0$ D、 $[x f (x)]^{'} = c o s x + x s i n x$

查看试题解析
10. 将两个变量 $x ， y$ 的 $n$ 对样本数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， (x_{3} ， y_{3}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ 在平面直角坐标系中表示为散点图，根据 $x ， y$ 满足一元线性回归模型及最小二乘法，求得其经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，设 $(x_{i} ， {\hat{y}}_{i})$ 为回归直线上的点，则下列说法正确的是（）

A、 $\sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - {\hat{y}}_{i})$ 越小，说明模型的拟合效果越好 B、利用最小二乘法求出的线性回归直线一定经过散点图中的某些点 C、相关系数 $r$ 的绝对值越接近于 $1$ ，说明成对样本数据的线性相关程度越强 D、通过经验回归方程进行预报时，解释变量的取值不能距离样本数据的范围太远，求得的预报值不是响应变量的精确值

查看试题解析
11. 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数正确的是（）

A、排成前后两排，前排3人，后排4人，共有 $A_{7}^{3} \times A_{4}^{4}$ 种方法 B、全体排成一排，男生互不相邻，共有 $A_{3}^{3} \times A_{4}^{4}$ 种方法 C、全体排成一排，女生必须站在一起，共有 $A_{4}^{4} \times A_{4}^{4}$ 种方法 D、全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有 $A_{6}^{2} \times A_{5}^{5}$ 种方法

查看试题解析
12. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 $a ， b ， m (m > 0)$ 为整数，若 $a$ 和 $b$ 被 $m$ 除得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模 $m$ 同余，记为 $a \equiv b (m o d m)$ ．若 $a = C_{20}^{0} + C_{20}^{1} \times 3 + C_{20}^{2} \times 3^{2} + ⋯ + C_{20}^{20} \times 3^{20}$ ， $a \equiv b (m o d 5)$ ，则 $b$ 的值可以是（）

A、2005 B、2006 C、2020 D、2021

查看试题解析

三、填空题

13. 设函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{^{'}} (x)$ ，若 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (2) =$ ．

查看试题解析
14. $(\frac{1}{x} + 2) {(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中的常数项是．

查看试题解析
15. 甲、乙、丙三个地区民众响应政府号召接种新冠疫苗，据统计这三个地区分别有40%、60%、80%的民众接种了疫苗．假设这三个地区人口数的比为 $3 ： 4 ： 3$ ，现在从这三个地区任选一人，则此人接种了疫苗的概率为．

查看试题解析
16. 在平面直角坐标系中，曲线 $y = x^{2}$ 上在 $A$ 点处的切线 $l$ 与 $y = - \frac{1}{2} x$ 垂直，则 $A$ 点坐标为；切线 $l$ 上的动点 $P$ 到曲线 $y = e^{2 x - 1}$ 上的点的最小距离为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $f (x) = (1 - m x)^{2021} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{2021} x^{2021}$ ，其中 $a_{1} = - 4042$ ， $m \in R$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{2021}$ 的值．

查看试题解析
18. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以 $\frac{1}{2}$ 的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为 $1 ， 2 ， ⋯ ， 7$ 的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．

(1)、如图，进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率；

(2)、曾经在街头巷尾的地摊上流行过一种利用高尔顿板改造的赌博游戏．摊主规定：2元可以尝试一次，如果小球落入1号和7号球槽可以得到5元奖金；如果小球落入2号和6号球槽可以得到2元奖金；如果小球落入3号和5号球槽可以得到1元奖金；如果小球落入4球槽没有奖金．如果某天有100人次尝试此游戏，摊主预计可以获取多少收益．

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = b l n x + x^{2} - a x (x > 0)$ ， $a ， b \in R$ ．

(1)、当 $a = 4 ， b = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $b = 0$ ，过点 $(2 ， 1)$ 与曲线 $f (x)$ 相切的直线与直线 $x - y + 3 = 0$ 平行，求 $a$ 的值．

查看试题解析
20. 随着电商事业的发展和工作生活节奏的加快，人们的生活方式和生活理念正在发生巨大的改变．通过外卖App下单订餐叫外卖，正受到越来越多的市民尤其是青年上班族的喜爱．为了解市民是否经常利用外卖平台点餐，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了75人进行抽样分析，其中经常用外卖平台点餐的人数是基本不用外卖平台点餐的人数的2倍；40岁以上经常用外卖平台点餐的人数和基本不用外卖平台点餐的人数相等；40岁及以下有15人基本不用外卖平台点餐．

(1)、请完善下面列联表（单位：人），并依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，分析经常利用外卖平台点餐是否与年龄有关？

经常用外卖平台点餐
基本不用外卖平台点餐
总计
40岁及以下
15
40岁以上
总计
75

(2)、利用分层抽样方法在经常用外卖平台点餐的市民中随机抽取10人，再从以上10人中随机抽取3人．记被抽取的3人中“40岁以上”的人数为X，求随机变量X的分布列和均值 $E (X)$ ．
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表：
$P (χ^{2} \geq x_{α})$
0.15
0.10
0.05
0.025
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
5.024

查看试题解析
21. 2021年辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市将全部采用“ $3 + 1 + 2$ ”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X(满分100分)服从正态分布 $N (55 ， 1 0^{2})$ ．

(1)、分别估计成绩在 $[45 ， 65]$ 和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数）
附1： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

(2)、本次考试物理成绩X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ．令 $η = \frac{X - μ}{σ}$ ，则 $η ~ N (0 ， 1)$ ，若本次考试物理成绩的前25%划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？
附2：若 $η ∼ N (0 ， 1)$ ，则 $P (η < 0.8) \approx 0.75$ ．

查看试题解析
22. 现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素．某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
物流成本 $x$
83
83.5
80
86.5
89
84.5
79
96.5
利润y
114
116
106
122
132
114
$m$
132
残差 $\hat{e_{i}} = y_{i} - \hat{y_{i}}$
0.2
0.6
1.8
-3
-1
-4.6
$- 1$
根据最小二乘法公式求得线性回归方程为 $\hat{y} = 3.2 x - 151.8$ ．
附1（修正前的参考数据）：
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 78880$ ， $\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 56528$ ， $\bar{x} = 84$ ， $\sum_{i = 1}^{8} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 904$ ．
附2： $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \hat{y_{i}})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ．
附3： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、求 $m$ 的值，并利用已知的线性回归方程求出8月份对应的残差值 $\hat{e_{8}}$ ；

(2)、请先求出线性回归模型 $\hat{y} = 3.2 x - 151.8$ 的决定系数 $R^{2}$ （精确到0.0001）；若根据非线性模型 $y = 267.76 l n x - 1069.2$ 求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）决定系数 $R_{0}^{2} = 0.9057$ ，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？

(3)、通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为116万元．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程．

查看试题解析

	经常用外卖平台点餐	基本不用外卖平台点餐	总计
40岁及以下		15
40岁以上
总计			75

$P (χ^{2} \geq x_{α})$	0.15	0.10	0.05	0.025
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	5.024

月份	1	2	3	4	5	6	7	8
物流成本 $x$	83	83.5	80	86.5	89	84.5	79	96.5
利润y	114	116	106	122	132	114	$m$	132
残差 $\hat{e_{i}} = y_{i} - \hat{y_{i}}$	0.2	0.6	1.8	-3	-1	-4.6	$- 1$