山东省临沂市兰山区、兰陵县2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若有4名游客要到某地的3个旅游景点去旅游，则不同的安排方法数为（）

A、4 B、64 C、24 D、81

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2. 从图中的 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 四点中随机选出两点，记 $ξ$ 为选出的两点纵坐标大于0的点的个数，则 $P (ξ = 2) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 化简 ${(x - 1)}^{4} + 4 {(x - 1)}^{3} + 6 {(x - 1)}^{2} + 4 (x - 1)$ 的结果为（）

A、 $x^{4} - 1$ B、 ${(x - 1)}^{4} - 1$ C、 ${(x + 1)}^{4} - 1$ D、 $x^{4} + 1$

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4. 2021年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”58周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排5位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（）

A、10 B、15 C、20 D、30

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5. 已知某地居民在2020年“双十一”期间的网上购物消费额 $ξ$ （单位：千元）服从正态分布 $N (2 ， 1)$ ，则该地参与购物的1万名居民在2020年“双十一”期间的网上购物消费额在 $(1 ， 4]$ 内的人数大约为（）
附：随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ， $P (μ - σ < ξ ≤ μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ ≤ μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$

A、4772 B、7300 C、8186 D、9759

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6. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 16 l n x$ 在区间 $[a - \frac{1}{2} ， a + \frac{1}{2}]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{5}{2}]$ B、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{3}{2} ， \frac{7}{2}]$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{7}{2}]$

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7. 某地市场调查发现， $\frac{3}{4}$ 的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为 $\frac{3}{5}$ ．而在实体店购买的家用小电器的合格率为 $\frac{9}{10}$ ，现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{11}{15}$ C、 $\frac{12}{13}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f^{'} (x) - f (x) > 0$ ， $f (2021) = e^{2021}$ ，则不等式 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 2 ， x \geq 0 \\ - x^{2} + 3 ， x < 0 \end{array}$ 的解集为（）

A、 $(\frac{1}{e^{2021}} ， + \infty)$ B、 $(0 ， e^{2021})$ C、 $(e^{2021} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{1}{e^{2021}})$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $x = - 2$ 处取得极大值 B、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值 C、 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上单调递增 D、当 $x \in [- 1 ， 3]$ 时函数的最大值是 $f (- 1)$

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10. 下列关于甲、乙、丙、丁、戊五个人身高互不相同的人的排列方法，正确的有（）

A、甲、乙两人相邻，丙、丁两人也相邻的站法有24种 B、甲、乙、丙互不相邻的站法共有72种方法 C、个子最高的人在中间，从中间向两边看身高依次降低的站法有6种 D、甲不在排头的站法有96种

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 2$ ，下列说法中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的极大值为 $\frac{22}{3}$ ，极小值为 $- \frac{10}{3}$ B、若函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， a]$ 上单调递减，则 $- 2 < a \leq 2$ C、当 $x \in [3 ， 4]$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{22}{3}$ ，最小值为 $- \frac{10}{3}$ D、若方程 $f (x) - c = 0$ 有3个不同的解，则 $- \frac{10}{3} < c < \frac{22}{3}$

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12. 已知 $0 < p < 1$ ，随机变量 $X$ 的分布列如下表所示，若 $E (X) = D (X)$ ，则下列结论中不可能成立的是（）
$X$
$m$
$m - 1$
$P$
$p$
$1 - p$

A、 $m = 1$ B、 $m = \frac{1}{4}$ C、 $D (X) = \frac{3}{4}$ D、 $p = \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 若随机变量 $X ~ B (10 ， 0.2)$ ，则 $D (2 X + 1) =$ ．

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14. 从一副扑克牌中挑7张，其中2张红桃，5张黑桃．现从这7张扑克牌中随机抽取2张，则抽取的2张扑克牌中红桃的个数 $ξ$ 的数学期望为．

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15. 在高中数学第一册我们学习“集合的子集”时知道，若一个集合有 $n (n \in N_{+})$ 个元素，则该集合的子集（包括含有0个元素（空集），1个元素，2个元素，…， $n$ 个元素）个数共有 $2^{n}$ 个，请你结合你所学习的二项式定理的有关知识写出关于子集个数为 $2^{n}$ 个的计算等式．

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16. 已知函数 $f (x) = x l n x + 2 x {(x - a)}^{2}$ （ $a \in R$ ）.若存在 $x \in [1 ， 3]$ ，使 $f (x) \leq x f^{'} (x)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在①只有第5项的二项式系数最大，②第3项与第7项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为 $2^{8}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
已知 ${(1 - 2 x)}^{n}$ 展开式中____．

(1)、求展开式中含 $x^{2}$ 的项；

(2)、设 ${(1 - 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 a x + 1$ ，且 $x = - 1$ 是函数 $f (x)$ 的一个极大值点．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 3]$ 上的最大值和最小值．

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19. 习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”．为响应总书记的号召某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动．运动分为徒手运动和器械运动两大类．该社区对参与活动的1200人进行了调查，其中男性650人，女性550人，所得统计数据如表所示：（单位：人）
性别
器械类
徒手类
合计
男性
590
女性
240
合计
900

(1)、请将题中表格补充完整，依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为是否选择器械类与性别有关联？

(2)、为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动．竞赛包括三个项目，一个是器械类两个是徒手类，规定参与者必需三个项目都参加．据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是 $\frac{3}{5}$ ，通过徒手类竞赛的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，且各项目是否通过相互独立．用 $ξ$ 表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望．
（参考数据： $123 0^{2} = 1512900$ ， $65 \times 55 \times 9 = 32175$ ， $1512900 \div 32175 \approx 47$ ）
参考公式： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$α$
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
$χ_{α}$
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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20. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限 $x$ （单位：年）与失效费 $y$ （单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限 $x$ （单位：年）
1
2
3
4
5
6
7
失效费 $y$ （单位：万元）
2.90
3.30
3.60
4.40
4.80
5.20
5.90
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．
线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距最小二乘估计计算公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 14.00$ ， $\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 7.08$ ， $\sqrt{198.24} \approx 14.10$ ．

(1)、由上表数据可知，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）

(2)、求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费．

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21. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱100件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则将其更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验．设每件产品为不合格品的概率为0.1，且各件产品是否为不合格品相互独立．

(1)、若取3件该产品，求其中至少有1件不合格品的概率；

(2)、已知每件产品的检验费用为4元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付50元的赔偿费用，现对一箱产品已检验了10件；
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$ ，求 $E (X)$ ；
②以这一箱产品的检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

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22. 已知函数 $f (x) = 2 l n x + \frac{1}{2} a x^{2} - (2 a + 1) x$

(1)、若 $f (x)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上单调，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上有极小值 $g (a)$ ，求证： $g (a) \leq 4 l n 2 - 4$ ．

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$α$	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$χ_{α}$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

使用年限 $x$ （单位：年）	1	2	3	4	5	6	7
失效费 $y$ （单位：万元）	2.90	3.30	3.60	4.40	4.80	5.20	5.90

$X$	$m$	$m - 1$
$P$	$p$	$1 - p$

性别	器械类	徒手类	合计
男性	590
女性		240
合计	900