山东省济宁市泗水县2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列结论正确的是（）

A、若 $y = s i n x$ ，则 $y^{'} = c o s x$ B、若 $y = c o s x$ ，则 $y^{'} = c o s x$ C、若 $y = \frac{1}{x}$ ，则 $y^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ D、若 $y = \sqrt{x}$ ，则 $y^{'} = \frac{1}{2} \sqrt{x}$

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2. 造纸术､印刷术､指南针､火药被称为中国古代四大发明，这四种发明对中国古代的政治､经济､文化的发展产生了巨大的推动作用；2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了“中国的新四大发明”：高铁､扫码支付､共享单车和网购．若从这8个发明中任取两个发明，则两个都是新四大发明的概率为（）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3. 若函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = 2 f^{'} (1) l n x + 2 x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、0 B、-1 C、-2 D、2

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4. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有（）

A、20个 B、48个 C、52个 D、120个

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5. 设函数 $f (x) = 4 l n x - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ 在 $x \in [a ， a + 1]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $(0 ， 3]$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $[3 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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6. 若 $(1 - 3 x)^{2017} = a_{0} + a_{1} x + \cdot \cdot \cdot + a_{2017} x^{2017} ， (x \in R)$ ，则 $\frac{a_{1}}{3} + \frac{a_{2}}{3^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{2017}}{3^{2017}}$ 的值为（）

A、2 B、0 C、.-1 D、-2

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7. 设函数 $f (x) = {ae}^{x} - 2 sinx$ ， $x \in [0, π]$ 有且仅有一个零点，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2} e^{\frac{π}{4}}$ B、 $\sqrt{2} e^{- \frac{π}{4}}$ C、 $\sqrt{2} e^{\frac{π}{2}}$ D、 $\sqrt{2} e^{- \frac{π}{2}}$

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8. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln (- x) (x < 0) \\ x^{2} e^{2 - x} (x \geq 0) \end{array}$ ，若关于x的方程 $f^{2} (x) - a f (x) + 4 a - a^{2} = 0$ 有四个不等的实数根，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(- \infty ， 4) \cup (4 ， + \infty)$ C、 $(- 4 ， 0) \cup {4}$ D、 $(- \infty ， - 4) \cup {4}$

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二、多选题

9. 为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，则下列选项正确的是（）

A、共有625种分配方法 B、共有1024种分配方法 C、每个小区至少分配一名志愿者，则有240种分配方法 D、每个小区至少分配一名志愿者，则有480种分配方法

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10. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ 且导函数为 $f' (x)$ ，如图是函数 $y = x f' (x)$ 的图像，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的增区间是 $(- 2 ， 0) ， (2 ， + \infty)$ B、函数 $f (x)$ 的增区间是 $(- \infty ， - 2) ， (2 ， + \infty)$ C、 $x = - 2$ 是函数的极小值点 D、 $x = 2$ 是函数的极小值点

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11. 已知 $(a + x) (1 + \sqrt{x})^{5}$ 展开式的所有项系数之和为96，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 1$ B、 $a = 2$ C、 $(a + x) (1 + \sqrt{x})^{5}$ 展开式中 $x^{2}$ 项的系数为10 D、 $(a + x) (1 + \sqrt{x})^{5}$ 展开式中 $x^{2}$ 项的系数为20

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n x}{1 + x^{2}}$ ，则下列选项正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的零点是 $x = k π$ （ $k \in Z$ ） B、函数 $f (x)$ 是奇函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增 C、若x₀是函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的极值点，则 $\frac{π}{4} < x_{0} < 1$ D、 $| f (x) | < \frac{2}{π}$

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三、填空题

13. 随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如下表：

	粉色系列	黄色系列
玫瑰	戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山	假日公主、金辉、金香玉
康乃馨	粉色、小桃红、白色粉边	火焰、金毛、黄色
配叶	红竹蕉、情人草、满天星	散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊

佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束．请问佳佳可定制的混合花束一共有种．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， x < 0 \\ l n x ， 0 < x < 1 \end{array}$ ，若 $f^{'} (a) = 12$ ，则实数 $a$ 的值为．

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15. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有种．

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16. 对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，定义：设 $f'' (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数 $y = f' (x)$ 的导数，若方程 $f'' (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 3 x - \frac{1}{4}$ ，则 $f (x)$ 的对称中心为；计算 $f (\frac{1}{2021}) + f (\frac{2}{2021}) + f (\frac{3}{2021}) + \dots + f (\frac{2020}{2021})$ = ．

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四、解答题

17. 在今年年初抗击新冠肺炎疫情的战役中，我省积极组织选派精干医疗工作者支援湖北省．某医院有内科医生10名，外科医生4名，现选派4名参加援助医疗队，其中：

(1)、某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？

(2)、队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + b (b \in R)$ ．

(1)、当 $b = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 3]$ 上的值域；

(2)、若方程 $f (x) = 1$ 有三个不同的解，求b的取值范围．

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19. 已知 ${(a x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ （ $a \in R$ ， $n \in N^{*}$ ）展开式的前三项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1.

(1)、求 $n$ 和 $a$ 的值；

(2)、展开式中是否存在常数项？若有，求出常数项；若没有，请说明理由；

(3)、求展开式中二项式系数最大的项.

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20. 设 $f (x) = x - a l n x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、记函数 $g (x) = f (x) - \frac{a - 1}{x}$ ，若当 $x = 1$ 时，函数 $g (x)$ 有极大值，求 $a$ 的取值范围.

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21. 广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为 $x$ 万美元，可获得的加工费近似地为 $\frac{1}{2} l n (2 x + 1)$ 万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失 $m x$ 万美元，其中 $m$ 为该时段美元的贬值指数是 $m \in (0 ， 1)$ ，从而实际所得的加工费为 $f (x) = \frac{1}{2} l n (2 x + 1) - m x$ （万美元）.

(1)、若某时期美元贬值指数 $m = \frac{1}{200}$ ，为确保企业实际所得加工费随 $x$ 的增加而增加，该企业加工产品订单的金额 $x$ 应在什么范围内？

(2)、若该企业加工产品订单的金额为 $x$ 万美元时共需要的生产成本为 $\frac{1}{20} x$ 万美元，已知该企业加工生产能力为 $x \in [10 ， 20]$ （其中 $x$ 为产品订单的金额），试问美元的贬值指数 $m$ 在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x \ln a (a > 0)$ ， $x \in (0 ， 1)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) > a e^{x} \ln x$ 对 $\forall x \in (0 ， 1)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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