山东省济宁市任城区2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）

A、 $0 < f^{'} (2) < f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ B、 $0 < f^{'} (3) < f (3) - f (2) < f^{'} (2)$ C、 $0 < f^{'} (3) < f^{'} (2) < f (3) - f (2)$ D、 $0 < f (3) - f (2) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$

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2. 将6本相同的书分给8个同学，每人至多分一本，而且书必须分完，则不同的分法种数是（）

A、 $A_{8}^{6}$ B、 $C_{8}^{6}$ C、 $6^{8}$ D、 $8^{6}$

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3. 习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是（）

A、9 B、10 C、36 D、45

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4. 已知随机变量的分布列为 $P (X = k) = \frac{1}{4}$ ， $k = 1$ ， 2，3，4，则 $D (2 X - 1) =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、4 D、5

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5. 今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过 $8^{100}$ 天后是（）

A、星期一 B、星期二 C、星期三 D、星期四

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6. 在 $(2 + x) {(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数为（）

A、-80 B、80 C、160 D、240

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7. 函数 $f (x) = \frac{x}{x - s i n x} (x \in [- π ， 0) ∪ (0 ， π])$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x) > f^{'} (x) + 1$ ， $f (0) = 3$ ，则不等式 $f (x) > 2 e^{x} + 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列导数运算正确的是（）

A、 ${(s i n x)}^{^{'}} = c o s x$ B、 ${(c o s \frac{π}{3})}^{^{'}} = - s i n \frac{π}{3}$ C、 ${(\sqrt{x})}^{^{'}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ D、 ${(e^{- x})}^{^{'}} = e^{- x}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(- 2 ， - 1)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 3$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 共有2个极小值点

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11. 从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（）

A、偶数有60个 B、比300大的奇数有48个 C、个位和百位数字之和为7的数有24个 D、能被3整除的数有48个

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12. 已知 $0 < a < b < 1$ ， $e$ 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a e^{a} < b e^{b}$ B、 $a e^{b} < b e^{a}$ C、 $a l n a > b l n b$ D、 $a^{b} < b^{a}$

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三、填空题

13. 若 $A_{n}^{2} = C_{n + 1}^{n - 1}$ ，则n!＝．

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14. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = 2 l n x - x f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (1) =$ ．

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15. 甲和乙两个箱子里各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数不超过2，从甲箱子中摸出1个球；如果点数超过2，从乙箱子中摸出1个球，则摸到红球的概率为．

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16. 若 $(1 - 2 x)^{2021} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{2021} x^{2021}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{2021} =$ ， $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ + 2021 a_{2021} =$ ．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} - 4 l n x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 3$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围．

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18. 在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；
条件②：只有第5项的二项式系数最大；
条件③：所有项的二项式系数的和为256．
问题：在 ${(a x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n} (a > 0)$ 的展开式中，____．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有项的系数的和．

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19. 某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为 $60 cm$ 的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是 $x cm$ 的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为 $30 cm$ 、 $x cm$ 的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．

(1)、求包装盒的容积 $V (x)$ 关于 $x$ 的函数表达式，并求函数的定义域；

(2)、当 $x$ 为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？

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20. 在某校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四首不同曲目中任选一首.

(1)、求甲、乙两班选择不同曲目的概率；

(2)、设这四个班级总共选取了 $X$ 首曲目，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E X$ .

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21. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + b (b \in R)$ .

(1)、当 $b = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在三个零点，分别记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ $(x_{1} < x_{2} < x_{3})$ .
（ⅰ）求 $b$ 的取值范围；

（ⅱ）证明： $x_{1} + x_{2} > 0$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x - a l n x (a \in R)$

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) \geq 1$ ，求 $a$ 的值，并证明： $f (x) > 2 x - e^{x} .$

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