山东省滨州市无棣县2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. $A_{5}^{2} + C_{10}^{8} =$ （）

A、110 B、65 C、55 D、100

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2. ${(1 - x)}^{6}$ 展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、15 B、-15 C、30 D、-30

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3. 某产品生产厂家的市场部在对5家商场进行调研时，获得该产品的售价 $x$ （单位：元）和销售量 $y$ （单位：百个）之间的五组数据： $(1 ， 5)$ ， $(2 ， m)$ ， $(3 ， 6)$ ， $(4 ， 6)$ ， $(5 ， 8)$ ，根据数据可得回归直线方程为 $\hat{y} = 0.8 x + 4$ ，则 $m$ 的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 盒中装有10个乒乓球，其中7个新球，3个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取到新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）

A、 $\frac{1}{42}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{21}{45}$

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5. 某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有（）

A、6⁴种 B、4⁶种 C、24种 D、360种

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6. 已知随机变量 $ξ \sim B (8 ， p)$ ，且 $E (ξ) = 2$ ，则 $D (2 ξ) =$ （）

A、3 B、6 C、12 D、24

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7. 旅游景区新开放了六个不同的景点，每个景点都有街道联结，且都可以随机进入，该景点的平面结构图如图所示．李华去景点旅游，随机从A，B，C，D，E，F六个景点中的一个景点进入，则选择进入的点可以使得李华不重复走遍全部街道的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，有下列四个命题：
甲： $P (ξ < a - 1) > P (ξ > a + 2)$ 乙： $P (ξ > a) = 0.5$

丙： $(ξ \leq a) = 0.5$ 丁： $P (a < ξ < a + 1) < P (a + 1 < ξ < a + 2)$

如果只有一个假命题，则该命题为（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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9. 某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），下左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，下右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 $\hat{y} = 1.16 x - 30.75$ ，以下结论中正确的为（）

A、15名志愿者身高的极差大于臂展的极差 B、身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米 C、身高为190厘米的人臂展一定为189.65厘米 D、15名志愿者身高和臂展成正相关关系

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二、多选题

10. 变量 $x$ ， $y$ 的 $n$ 个样本点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， $⋯$ ， $(x_{n} ， y_{n})$ 及其线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，下列说法正确的有（）

A、相关系数 $r$ 的绝对值越接近1，表示 $x$ ， $y$ 的线性相关程度越强 B、相关指数 $R^{2}$ 的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好 C、残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好 D、若 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} ， \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ ，则点 $(\bar{x} ， \bar{y})$ 一定在线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 上

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11. 已知 ${(a x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{10} (a > 0)$ ，展开式的各项系数和为1024，下列说法正确的是（）

A、展开式中偶数项的二项式系数和为256 B、展开式中第6项的系数最大 C、展开式中存在常数项 D、展开式中含 $x^{10}$ 项的系数为45

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12. 有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（）

A、任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06 B、任取一个零件是次品的概率为0.0525 C、如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 $\frac{3}{7}$ D、如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 $\frac{3}{7}$

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三、填空题

13. 有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为．

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14. 现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为．

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15. 若 $x^{6} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + a_{3} {(x + 1)}^{3} + ⋯ + a_{6} {(x + 1)}^{6}$ ，则 $a_{3} =$ ．

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16. 若随机变量 $X ∼ B (3 ， p)$ ， $Y ∼ N (2 ， σ^{2})$ ，若 $P (X \geq 1) = 0.657$ ， $P (0 < Y < 2) = p$ ，则 $P (Y > 4) =$ ．

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四、解答题

17. 有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙箱中有3只红球，5只白球.

(1)、随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；

(2)、从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率.

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18. 已知 ${(1 + m x)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{8} x^{8}$ 中，且 $a_{3} = - 56$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8}$ 的值．

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19. 天气转暖，太阳辐射增强，遮阳帽比较畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售．统计后得到其单价x（单位：元）与销量y（单位：顶）的相关数据如表：
单价x（元/顶）
30
35
40
45
50
日销售量y（顶）
140
130
110
90
80
附：对于一组数据（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），…，（xn，yn），其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} {x_{i}}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 21200 ， \sum_{i = 1}^{5} {x_{i}}^{2} = 8250$

(1)、已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)、若每顶帽子的成本为25元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大？（结果保留到整数）．

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20. 某市为了解乡村振兴，农业农村现代化进程，对全市村庄进行全方位的调研．根据调研成绩评定“要加油”“良好”“优秀”三个等级．现随机抽取200个村庄的成绩统计结果如表：
等级
优秀
良好
要加油
得分
$[90 ， 100]$
$[80 ， 90)$
$[0 ， 80)$
频数
40
80
80
附表及公式： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、若调研成绩在80分及以上认定为“优良”．抽取的200个村庄中东西部村庄的分布情况如下表．完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为优良村庄与东西部位置有关？
村庄位置
是否优良
总计
优良
非优良
东部村庄
西部村庄
70
30
总计

(2)、用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、“要加油”的三个等级的村庄中随机选取5个进行细致调查，同时对相应等级进行量化：“优秀”记10分，“良好”记5分，“要加油”记0分．现再从抽取的5个村庄中任选2个村，所选村的量化分之和记为X，求X的分布列及数学期望．

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21. 为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在 $[70 ， 80)$ 内的学生获三等奖，得分在 $[80 ， 90)$ 内的学生获二等奖，得分在 $[90 ， 100]$ 内的学生获一等奖，其它学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表．
竞赛成绩
$[30 ， 40)$
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100]$
人数
6
12
18
34
16
8
6

(1)、从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率；

(2)、若该校所有参赛学生的成绩 $X$ 近似地服从正态分布 $N (64 ， 225)$ ，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过79分的学生人数（结果四舍五入到整数）；
②若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于10000）随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望．
附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ ＜ X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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22. 为加强进口冷链食品监管，进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒，对于 $n$ ，（ $n \in N^{*}$ ）份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验 $n$ 次：二是混合检验，将 $k$ 份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 $k$ 份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这 $k$ 份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 $k$ 份检验的次数共为 $k + 1$ 次，若每份样本没有该病毒的概率为 $\frac{1}{3}$ ，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．

(1)、求2份样本混合的结果为阳性的概率；

(2)、若取得4份样本，考虑以下两种检验方案：
方案一：采用混合检验；
方案二：平均分成两组，每组2份样本采用混合检验．
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由．

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单价x（元/顶）	30	35	40	45	50
日销售量y（顶）	140	130	110	90	80

等级	优秀	良好	要加油
得分	$[90 ， 100]$	$[80 ， 90)$	$[0 ， 80)$
频数	40	80	80

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

村庄位置	是否优良		总计
村庄位置	优良	非优良	总计
东部村庄
西部村庄	70	30
总计

竞赛成绩	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
人数	6	12	18	34	16	8	6