辽宁省鞍山市2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 等差数列{a_n}中，a₁+a₅=10，a₄=7，则数列{a_n}的公差为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，用基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 表示向量 $\vec{B D_{1}}$ ，则 $\vec{B D_{1}} =$ （）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

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3. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，公比 $| q | \neq 1$ .若 $a_{m} = a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ ，则m=（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，当首项 $a_{1}$ 和 $d$ 变化时， $a_{3} + a_{7} + a_{11}$ 是一个定值，则下列各数也为定值的是（）

A、 $S_{7}$ B、 $S_{8}$ C、 $S_{13}$ D、 $S_{15}$

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5. 公元480年左右，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926到3.1415927之间，在之后的800年里祖冲之计算出的圆周率都是最准确的，所以，国际上曾提议将3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就，某老师为了帮助学生了解“祖率”，让同学们把小数点后的7个数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么得到小于3.14的不同数字个数为（）

A、2280 B、440 C、720 D、240

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6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 $x^{2} + y^{2} = 5$ ，若将军从点 $A (4 ， 0)$ 出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 8$ ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{5}$

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7. 某地组织普通高中数学竞赛．初赛共有20000名学生参赛，考试结束后发现考试成绩 $X$ (满分150分)服从正态分布 $N (110 ， 100)$ ，决定考试成绩140分及以上者可以进入决赛．已知进入决赛的人数为26，那么估计本次考试成绩130分以上的人数大约为（）
附： $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826 ， P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544 ， P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974 .$

A、456 B、1587 C、955 D、683

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8. 如果数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 1$ ，且 $\frac{a_{n} \cdot a_{n - 1}}{a_{n - 1} - a_{n}} = \frac{a_{n} \cdot a_{n + 1}}{a_{n} - a_{n + 1}}, (n \geq 2)$ ，则此数列的第10项为（）

A、 $\frac{1}{2^{10}}$ B、 $\frac{1}{2^{9}}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{5}$

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二、多选题

9. 关于 $(a - b)^{10}$ 的二项展开式的说法，正确的是（）

A、展开式中的系数之和为1024 B、展开式中第6项的二项式系数最大 C、展开式中第5项和第7项的系数最大 D、展开式中第6项的系数最小

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10. 若直线 $y = 2 x - 1$ 与双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 有且只有一个公共点，则 $m$ 的值可能为（）

A、3 B、4 C、8 D、10

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B_{1} C$ 上运动，则（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、点 $P$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离为定值 C、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ D、直线 $C_{1} P$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n} + \ln \frac{n + 1}{n^{3}} (n \in N^{*}), a_{1} + b_{1} > 0$
给出下列四个命题，其中的真命题是（）

A、数列 ${a_{n} - b_{n}}$ 单调递增； B、数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 单调递增； C、数 ${a_{n}}$ 从某项以后单调递增； D、数列 ${b_{n}}$ 从某项以后单调递增.

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三、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，若 $a_{1} + a_{3} = 16 ， a_{5} + a_{7} = 4$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比为．

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14. 如果 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n} = 2^{n} - 1$ ，那么 $\frac{1}{a_{1} + a_{2}} + \frac{1}{a_{2} + a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}} =$ ．

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15. 已知 $0 < P (A) < 1$ ，且 $P (B | A) = P (B)$ ．若 $P (\bar{A}) = 0.6$ ， $P (B | \bar{A}) = 0.3$ ，则 $P (A B) =$ ．

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16. 已知拋物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，定点 $A (2 ， 1)$ ，设 $P$ 为拋物线上的动点， $| P A | + | P F |$ 的最小值为，此时点 $P$ 坐标为．

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四、解答题

17. 某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查，得到的数据如表：

男性
女性
总计
参与该项老年运动
$p$
8
$x$
不参与该项老年运动
$q$
32
$y$
总计
60
40
100
从参与该项老年运动的被调查者中随机抽取1人个人是男性的概率是 $\frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $2 \times 2$ 列联表中 $p ， q ， x ， y$ 的值；

(2)、是否有 $90 %$ 的把握认为参与该项老年运动与性别有关？
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α = P (χ^{2} > k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k$
2.072
2.706
3.841
5.024．
6.635
7.879
10828

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： $S_{n} + S_{m} = S_{n + m} ， \forall m ， n \in N_{+} ， a_{1} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{S_{n}}$ ，求数列 ${S_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图 $A D / / B C$ ，且 $A D = 2 B C$ ， $A D / / E G$ ，且 $A D = E G$ ， $C D / / F G$ ，且 $C D = 2 F G$ ， $A D ⊥ C D$ ， $D G ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = C D = D G = 2$ ．

(1)、求二面角 $E - B C - F$ 的余弦值；

(2)、若点 $P$ 在线段 $D G$ 上，且直线 $B P$ 与平面 $A D G E$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求线段 $D P$ 的长．

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20. 某篮球队内部进行一次罚篮测试，规定：每名队员若连续罚中两次，则不用继续罚篮，判定为通过测试；否则罚篮5次停止测试，已知队员甲罚球命中率为 $\frac{4}{5}$ ．

(1)、用 $X$ 表示甲罚球的次数，求随机变量 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)、记“甲罚篮5次”为事件A，“甲通过测试”为事件 $B$ ，求 $P (B ∣ A)$ ．

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21. 已知长度为3的线段的两个端点 $A$ ， $B$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上运动，动点 $P$ 满足 $\vec{B P} = 2 \vec{P A}$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C .$

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、设曲线 $C$ 与 $y$ 轴的正半轴交于点 $D$ ，过点 $D$ 作互相垂直的两条直线，分别交曲线C于 $M ， N$ 两点，连接 $M N$ ，试判断直线 $M N$ 是否经过定点．若是，求出该定点坐标；若否，请说明理由．

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22. $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{n} + S_{n} = 2^{n} - 1 .$

(1)、设 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，证明： $b_{n + 1} - b_{n} = 2^{2 n}$ ，并求 $a_{n}$ ；

(2)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{S_{i}} < 3$

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	男性	女性	总计
参与该项老年运动	$p$	8	$x$
不参与该项老年运动	$q$	32	$y$
总计	60	40	100

$α = P (χ^{2} > k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024．	6.635	7.879	10828