江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 命题甲：对任意 $x \in (a ， b)$ ，有 $f^{'} (x) > 0$ ；命题乙： $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 内是单调递增的，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）

A、 $A_{4}^{3}$ B、 $C_{4}^{3}$ C、 $3^{4}$ D、 $4^{3}$

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3. 函数 $y = x + 2 c o s x - \sqrt{3}$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值是（）

A、 $\frac{π}{2} - \sqrt{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $1 - \sqrt{3}$

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4. 若 $(1 + x)^{3} (1 - 2 x)^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{7} x^{7}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} =$ （）

A、8 B、6 C、5 D、4

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5. 如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）

A、72 B、96 C、108 D、120

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6. 设 $a \in Z$ ，且 $0 \leq a \leq 13$ ，若 $5 1^{2021} + a$ 能被13整除，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、11 D、12

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7. 函数 $f (x) = x^{2} - x s i n x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知定义在 $R$ 上的连续奇函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，已知 $f (1) \neq 0$ ，且当 $x > 0$ 时有 $x l n x \cdot f^{'} (x) < - f (x)$ 成立，则使 $(x^{2} - 4) f (x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， 0) ∪ (0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) ∪ (0 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 若直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 是函数 $f (x)$ 图像的一条切线，则函数 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = x^{4}$ C、 $f (x) = \sin x$ D、 $f (x) = e^{x}$

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10. 下列等式正确的是（）

A、 $C_{n}^{m} = \frac{m + 1}{n + 1} C_{n + 1}^{m}$ B、 $A_{n + 1}^{m + 1} - A_{n}^{m} = n^{2} A_{n - 1}^{m - 1}$ C、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1}$ D、 $n C_{n}^{k} = C_{n}^{k + 1} + k C_{n}^{k}$

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11. 已知 ${(x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{2})}^{n}$ 展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大 $992$ ，则下列结论正确的为（）

A、展开式中偶数项的二项式系数之和为 $2^{5}$ B、展开式中二项式系数最大的项只有第三项 C、展开式中系数最大的项只有第五项 D、展开式中有理项为第三项、第六项

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12. 已知函数 $f (x) = x c o s x - s i n x$ ，下列结论中正确的是（

A、函数 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 时，取得极小值 $- 1$ B、对于 $\forall x \in [0 ， π]$ ， $f (x) \leq 0$ 恒成立 C、若 $0 ＜ x_{1} ＜ x_{2} ＜ π$ ，则 $\frac{x_{1}}{x_{2}} < \frac{s i n x_{1}}{s i n x_{2}}$ D、若 $a < \frac{s i n x}{x} < b$ ，对于 $\forall x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为 $\frac{2}{π}$ ， $b$ 的最小值为1

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三、填空题

13. ${(\sqrt{x} - 3)}^{7}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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14. 已知 $a$ 为正实数，若函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x^{2} + 2 a^{2}$ 的极小值为0，则 $a$ 的值为

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15. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + l n x$ 有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则实数a的取值范围为.

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16. 有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有种不同的坐法.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} x^{2} + 3$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最大值和最小值.

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18. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．

(1)、在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?

(2)、在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?

(3)、在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个?

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19. 将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：

(1)、每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？

(2)、恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？

(3)、每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？

(4)、把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？

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20. 已知在 $(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}})^{n}$ 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是 $56 ： 3$ ．

(1)、求展开式中的所有有理项；

(2)、求展开式中系数绝对值最大的项；

(3)、求 $n + 9 C_{n}^{2} + 81 C_{n}^{3} + . . . + 9^{n - 1} C_{n}^{n}$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{x} + a$ .

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \in (0 ， l n 2)$ ，证明：函数 $g (x) = e^{x} f (x)$ 存在唯一极值点 $x_{0}$ ，且 $g (x_{0}) > 0$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x - a e^{x} + a$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在定义域内是单调函数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，求证：对任意 $x \in (0, + \infty)$ ，恒有 $f (x) < \cos x$ 成立.

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