江苏省南通市启东市2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\frac{4 - 2 i}{1 + 2 i} =$ （）

A、2 B、 $2 i$ C、-2 D、-2i

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2. 一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该件产品的正品率为（）

A、0.98 B、0.72 C、0.70 D、0.28

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3. 设随机变量X，Y满足：Y＝3X﹣1，X～B $(2 ， \frac{1}{3})$ ，则V(Y)＝（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 袋子中装有3个黑球和2个白球共5个小球，如果不放回地依次摸取2个小球，则在第 $1$ 次摸到黑球的条件下，第2次还摸到黑球的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念.若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有（）

A、240 B、192 C、120 D、96

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6. 函数 $f (x) = e^{s i n x} (- π \leq x \leq π)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{21}$ B、 $\frac{10}{21}$ C、 $\frac{11}{21}$ D、 $\frac{5}{42}$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) < f (x)$ ，则（）

A、 $f (4) > e f (3)$ B、 $f (4) > e^{2} f (2)$ C、 $f (- 4) > e^{2} f (- 2)$ D、 $e f (- 4) > f (- 3)$

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二、多选题

9. 若 $C_{11}^{2 x - 1} = C_{10}^{x - 1} + C_{10}^{x}$ ，则正整数 $x$ 的值是（）

A、1 B、3 C、4 D、5

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10. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 的共轭复数是 $\bar{z_{1}}$ ， $\bar{z_{2}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ B、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 ${z_{1}}^{2} = {z_{2}}^{2}$ C、若 $z_{1} z_{2} = {| z_{1} |}^{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ D、若 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = z_{2} \cdot \bar{z_{2}}$ ，则 $| z_{1} | = | z_{2} |$

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11. 根据我省普通高中高考综合改革方案，现将某校高二年级1000名参加生物选择考同学的考试分数转换为等级分，已知等级分 $X$ 的分数转换区间为 $[30 ， 100]$ ，若使等级分 $X ～ N (80 ， 25)$ ，则下列说法正确的有（）
（参考数据：① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .）

A、这次考试等级分超过80分的约有450人 B、这次考试等级分在 $(65 ， 95]$ 内的人数约为997 C、 $P (85 < X \leq 90) = 0.0428$ D、甲､乙､丙3人中恰有2人的等级分超过80分的概率为 $\frac{3}{8}$

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12. 已知 $(3 - 2 x)^{7} = a_{0} + a_{1} (x - 1)$ $+ a_{2} (x - 1)^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} (x - 1)^{7}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} = \frac{3^{7} - 1}{2}$ C、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{6}}{2^{6}} + \frac{a_{7}}{2^{7}} = 0$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 7 a_{7} = - 14$

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三、填空题

13. 已知复数 $z$ 满足 $1 \leq | z - 2 i | \leq 3$ ，则在复平面内复数 $z$ 对应的点Z所在区域的面积为.

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14. 在 $(x + \frac{2}{x}) {(x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的二项展开式中，常数项为.

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 \sqrt{a} x$ ， $g (x) = a (4 l n x + 1) + b$ ，设两曲线 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 有一个公共点 $P$ ，且在 $P$ 点处的切线相同，则当 $a \in (0 ， + \infty)$ 时，实数 $b$ 的最大值为.

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16. 甲､乙两人进行围棋比赛，共比赛 $2 n (n \in N^{*})$ 局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ .如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为 $P (n)$ ，则 $P (2) =$ ； $P (5) =$ .

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四、解答题

17. 在① $z^{2} = - 16$ ；② $z$ 为纯虚数；③ $2 z = (1 + i)^{6}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知复数 $z = (m^{2} - 2 m - 3) + (m - 3) i$ ，若____.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、在复平面内，若复数 $\frac{z}{3 - a i}$ 对应的点在直线 $x + y = 0$ 上，求实数 $a$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 3 x + c l n x + d$ ， $f^{'} (2) = \frac{3}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $d > 2$ ，求证： $f (x)$ 只有1个零点.

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19. 已知 ${(x^{2} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的系数之比为 $\frac{7}{6}$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、将展开式中的各项重新随机排列，求有理项互不相邻的概率.

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20. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.如表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶人次
125
106
100
90
80
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
$K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次y与月份 $x$ 之间的关系，求y关于 $x$ 的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测该路口9月份不“礼让行人”违规驾驶人次；

(2)、交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到如表：

不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过2年
26
24
驾龄2年以上
24
16
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会.

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21. 甲、乙两位同学参加数学建模比赛.在备选的6道题中，甲答对每道题的概率都是 $\frac{2}{3}$ ；乙能答对其中的4道题.甲、乙两人都从备选的6道题中随机抽出4道题独立进行测试.规定至少答对3题才能获奖.

(1)、求甲同学在比赛中答对的题数 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、求比赛中甲、乙两人至少有一人获奖的概率.

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22. 已知函数 $f (x) = x (e^{x} - x + a)$ ， $g (x) = 1 - x^{2} + l n x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的最小值；

(2)、求证：当 $a$ 取（1）中的最小值时， $f (x) \geq g (x)$ .

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

	不礼让行人	礼让行人
驾龄不超过2年	26	24
驾龄2年以上	24	16

月份	1	2	3	4	5
违章驾驶人次	125	106	100	90	80