江苏省连云港市赣榆区2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $x \in {1 ， 2 ， 4} ， y \in {- 2 ， - 3 ， 5}$ ，则 $x \cdot y$ 可表示不同的值的个数为（）

A、8 B、9 C、10 D、12

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2. 若 $i$ 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点 $Z$ 表示复数 $z$ ，则表示复数 $\frac{2 i}{z}$ 的点是（）

A、E B、F C、G D、H

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3. 二项式 ${(2 x - y)}^{8}$ 的展开式中第3项的二项式系数为（）

A、-56 B、56 C、-28 D、28

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4. 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，则在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 在复平面内，复数 $z_{0} = \frac{a + 2 i}{1 + i}$ （ $i$ 是虚数单位， $a \in R$ ）是纯虚数，其对应的点为 $Z_{0}$ ， $Z$ 为曲线 $| Z | = 1$ 上的动点，则 $Z_{0}$ 与 $Z$ 之间的最小距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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7. 埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2=285714，142857×3=428571，142857×4=571428，...，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：142+857=999，428+571=999，285+714=999，...，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数 $x$ ，剩下的三个数字构成另一个三位数 $y$ ，若 $x + y = 999$ ，则所有可能的有序实数组 $(x, y)$ 的个数为（）

A、48 B、60 C、96 D、120

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8. 甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次：当有人掷硬币的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则进入下一轮，并且按相同的规则继续进行游戏，规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏.则该游戏终止前，至少玩了六局的的概率为（）

A、 $\frac{1}{1024}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1023}{1024}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是20 B、若随机变量ξ服从正态分布N(1， $σ^{2}$ )，P( $ξ ≤ 4$ )=0.79，则P( $ξ ⩽ - 2$ )=0.21 C、若随机变量ξ服从二项分布：ξ $∼$ B(4，0.25)，则E(2ξ+3)=5 D、 $C_{20}^{1} + C_{20}^{2} + C_{20}^{3} + . . . + C_{20}^{19} = 2^{20} - 1$

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10. 已知复数 $z_{1} ， z_{2}$ 的共轭复数为 $\bar{z_{1}} ， \bar{z_{2}}$ ，则下列表达式成立的是（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ B、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ C、 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} | + | z_{2} |$ D、 $| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$

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11. 已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）

A、二项展开式中各项系数之和为 $3^{6}$ ； B、二项展开式中系数最大的项为 $90 x^{3}$ ； C、二项展开式中无常数项； D、二项式展开式中二项式系数最大的项为第4项．

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12. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N( $μ$ ， 30²)和N(280，40²)，则下列选项正确的是（）
附：若随机变量X服从正态分布N( $μ$ ， $σ^{2}$ )，则P( $μ - σ$ ＜X＜ $μ + σ$ )≈0.6826．

A、若红玫瑰日销售量范围在( $μ - 30$ ， 280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250 B、白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中 C、红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 D、白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.3413

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三、填空题

13. 已知 $z = \frac{3 - i}{2 + i}$ ，则 $| z | =$ ．

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14. 若 $C_{16}^{x} = C_{16}^{3 x - 8}$ ，则x的值为.

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15. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块，某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有种．

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16. 随机变量X的取值为0、1、2，P（X＝0）＝0.2，DX＝0.4，则P（X＝1）＝；若Y＝2X，则DY＝．

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四、解答题

17. 已知 $A B C D$ 是复平面内的平行四边形，顶点A，B，C对应的复数分别为 $1 - 3 i$ ， $- i$ ， $2 + 4 i$ .

(1)、求点D对应的复数为 $z_{0}$ ；

(2)、令复数 $z = (1 - 3 i) \times m - (2 + 4 i)$ ，当实数 $m$ 取什么值时，复数z表示的点位于第二或四象限.

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18. 已知袋中装有5个白球，2个黑球，3个红球，现从中任取3个球.

(1)、求恰有一个白球的方法种数；

(2)、求至少有一个红球的方法种数；

(3)、设随机变量X为取出3球中黑球的个数，求X的概率分布及数学期望.

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19. 已知 $A_{n}^{5} = 56 C_{n}^{7}$ ，且 ${(1 - 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + ⋯ + a_{n} x^{n}$ ．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n}$ 的值；

(3)、求 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + ⋯ + \frac{a_{n}}{2^{n}}$ 的值．

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20. 已知 $f (x) = (1 + a x)^{m} + {(1 + b x)}^{n}$ （m，n是正整数）.

(1)、若 $a = - 2 ， b = - 5$ 时， $f (x)$ 展开式中含x的一次项的系数为－16 ，求m，n的值；

(2)、若 $a = 2 ， b = 4$ 时， $f (x)$ 展开式中含x的一次项的系数为36，求展开式中含 $x^{2}$ 项的系数的最小值.

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21. 为加强进口冷链食品监管，某省于2020年底在全省建立进口冷链食品集中监管专仓制度，在口岸、目的地市或县（区、市）等进口冷链食品第一入境点，设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性全面消毒工作，为了进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒，对于 $n$ ，（ $n \in N^{*}$ ）份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验 $n$ 次：二是混合检验，将 $k$ 份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 $k$ 份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这 $k$ 份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 $k$ 份检验的次数共为 $k + 1$ 次，若每份样本没有该病毒的概率为 $\sqrt{p}$ （ $0 < p < 1$ ），而且样本之间是否有该病毒是相互独立的.

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，求2份样本混合的结果为阳性的概率；

(2)、若取得4份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组2份样本采用混合检验.若检验次数的期望值越小，则方案越“优”，试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由.

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22. 设 $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 4$ ，集合 $M = {1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n}$ 的所有3个元素的子集个数为 $N$ ，这些子集记为 $A_{1} ， A_{2} ， ⋯ ， A_{N}$ .

(1)、当 $n = 4$ 时，求集合 $A_{1} ， A_{2} ， ⋯ ， A_{N}$ 中所有元素之和 $S$ ；

(2)、记 $m_{i}$ 为 $A_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N)$ 中最小元素与最大元素之和，记 $f (n) = \frac{\sum_{i = 1}^{N} m_{i}}{N}$ ，求 $f (n)$ 的表达式.

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