江苏省淮安市金湖、洪泽等六校2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ ，则在复平面内， $z$ 对应的点的坐标是（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2} ， \frac{1}{2})$

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2. 曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线如图所示，则 $f' (- 1) - f (- 1) =$ （）

A、0 B、-1 C、1 D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 在 ${(x^{2} - x - 2)}^{5}$ 的展开式中x的系数为（）

A、80 B、240 C、-80 D、160

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4. 为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：y₁= $-$ 2x，y₂=3x $-$ 6分别与该曲线相切于（0，0），（2，0），已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该函数解析式为（）

A、 $f (x) = \frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} - 2 x$ B、 $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ C、 $f (x) = \frac{1}{9} x^{3} + \frac{1}{3} x^{2} - 2 x$ D、 $f (x) = - \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$

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5. 要从甲､乙等7人中选4人在座谈会上发言，若甲､乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有（）

A、80种 B、120种 C、60种 D、240种

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设复数 $x = \frac{2 i}{1 - i}$ （i是虚数单位），则 $C_{2022}^{1} x + C_{2022}^{2} x^{2} + C_{2022}^{3} x^{3} + ⋯ + C_{2022}^{2022} x^{2022} =$ （）

A、-2 B、-i C、2 D、0

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8. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式 $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：① $e^{\frac{π}{2} i} - i = 0$ ；② ${(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i)}^{2022} = - 1$ ；
③ $2 i c o s x = e^{i x} + e^{- i x}$ ；④ $2 i s i n x = e^{i x} - e^{- i x}$ .其中所有正确结论的编号是（）

A、①②③ B、②④ C、①②④ D、①③

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二、多选题

9. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）

A、由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： $C_{n + 1}^{r} = C_{n}^{r - 1} + C_{n}^{r}$ B、 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + ⋯ + C_{10}^{2} = 165$ C、第34行中从左到右第14与第15个数的比为 $2 ： 3$ D、由“第n行所有数之和为 $2^{n}$ ”猜想： $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ⋯ + C_{n}^{n} = 2^{n}$

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10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（）

A、如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B、甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种 C、甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种 D、若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种

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11. 定义在区间 $[a ， b]$ 上的连续函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $\exists ξ \in [a ， b]$ 使得 $f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a)$ ，则称 $ξ$ 为区间 $[a ， b]$ 上的“中值点”.下列在区间 $[- π ， π]$ 上“中值点”多于一个的函数是（）

A、 $f (x) = s i n x$ B、 $f (x) = x + 1$ C、 $f (x) = e^{x}$ D、 $f (x) = x^{3}$

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12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 $f (x)$ ，存在一个点 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 $x_{0}$ 为该函数的一个不动点.依据不动点理论，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = l n x + 1$ 有1个不动点 B、函数 $f (x) = c o s x$ 有2个不动点 C、若定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 D、若函数 $f (x) = \sqrt{e^{x} - \frac{1}{2} x - a}$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上存在不动点，则实数a满足 $1 \leq a \leq e - \frac{3}{2}$ （e为自然对数的底数）

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三、填空题

13. 设 $a \in Z$ ，且 $0 \leq a < 13$ ，若 $5 1^{2021} + a$ 能被 $13$ 整除，则 $a =$ .

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14. 若函数 $f (x) = - 2 x + s i n x$ ，则满足不等式 $f (2 m^{2} - m + π - 1) \leq - 2 π$ 的 $m$ 的取值范围为.

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15. 将7名支教教师安排到3所学校任教，每校至少2人的分配方法总数为a，则二项式 ${(\frac{63 x}{a} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{5}$ 的展开式中含x项的系数为（用数字作答）.

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16. 若 $f (x) = x - 1 - a l n x$ ， $g (x) = \frac{e x}{e^{x}}$ ， $a < 0$ ，且对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [3 ， 4]$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ）， $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | >$ $| \frac{1}{g (x_{1})} - \frac{1}{g (x_{2})} |$ 恒成立，则实数a的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = a + i$ （ $a \in R$ ），且 $z (1 + i)$ 是纯虚数.

(1)、求复数z及 $| z |$ ；

(2)、在复平面内，若复数 $(z - m i)^{2}$ （ $m \in R$ ）对应点在第二象限，求实数m的取值范围.

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18. 在① $f (x)$ 的一个极值点为0，② $f (- x) - f^{'} (x)$ 为奇函数，③若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x + (1 - e) y - 1 = 0$ 垂直这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题.
已知函数 $f (x) = a x - e^{x} + 1$ ，且_________，求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值与最小值.

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.

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19. 已知 $(1 + 3 x)^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{n} x^{n}$ 的展开式中 $a_{1} = 24$ ，

(1)、求 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} . . . + (- 1)^{n} a_{n}$ ；

(2)、展开式中系数最大的项为第几项？

(3)、求 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + . . . + n a_{n}$ （注： $2^{16} = 65536$ ， $2^{17} = 131072$ ）

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20. 已知函数 $f (x) = l n 2 x + \frac{a}{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， e]$ 上的最小值为2，求实数a的值.

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21. 六安市某生态旅游景区升级改造，有一块半圆形土地打算种植花草供人游玩欣赏，如图所示，其中AB长为 $4$ km，C、D两点在半圆弧上，满足 $B C = C D$ ，设 $∠ C O B = θ$ .

(1)、现要在景区内铺设一条观光道路，由线段BC，CD和 $D A$ 组成，则当 $θ$ 为何值时，观光道路的总长 $l$ 最长，并求 $l$ 最大值；

(2)、若在 $△ A O D$ 和 $△ B O C$ 内种满月季花，在扇形 $C O D$ 内种满薰衣草，已知月季花利润是每平方千米 $2 a$ 元，薰衣草的利润是每平方千米 $a$ 元，则当 $θ$ 为何值时，才能使总利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x l n x$ ， $g (x) = λ (x^{2} - 1)$ （ $λ$ 为常数）.

(1)、若函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 在 $x = 1$ 处有相同的切线，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $λ = 1$ ，且 $x \geq 1$ ，证明： $f (x) \leq g (x)$ ；

(3)、若对任意 $x \in [1 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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