吉林省长春市“BEST合作体”2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ B、 ${(\sin \frac{π}{3})}^{'} = \cos \frac{π}{3}$ C、 ${(\frac{1}{x^{2}})}^{'} = - \frac{1}{x}$ D、 ${(- \frac{1}{\sqrt{x}})}^{'} = \frac{1}{2 x \sqrt{x}}$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{i}{1 - i} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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3. 若曲线 $y = x^{3}$ 的切线方程为 $y = k x + 2$ ，则 $k =$ （）．

A、-1 B、1 C、-3 D、3

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4. 从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）

A、210种 B、420种 C、630种 D、840种

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5. 抛物线x²=2y和直线y=x+4所围成的封闭图形的面积是（）

A、16 B、18 C、20 D、22

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6. 函数 $f (x) = \frac{6 c o s x}{2 x - s i n x}$ 的图象大致为（）．

A、 B、 C、 D、

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7. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为（）

A、 $\frac{21}{44}$ B、 $\frac{15}{22}$ C、 $\frac{21}{50}$ D、 $\frac{9}{25}$

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8. 以下说法中正确个数是（）
①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；②欲证不等式 $\sqrt{3} - \sqrt{5} < \sqrt{6} - \sqrt{8}$ 成立，只需证 ${(\sqrt{3} - \sqrt{5})}^{2} < {(\sqrt{6} - \sqrt{8})}^{2}$ ；③用数学归纳法证明 $1 + a + a^{2} + a^{3} + \dots + a^{n + 1} = \frac{1 - a^{n + 2}}{1 - a}$ ( $a \neq 1$ ， $n \in N_{+}$ ，在验证 $n = 1$ 成立时，左边所得项为 $1 + a + a^{2}$ ；④“凡是自然数都是整数，0是自然数，所以0是整数.”以上三段论推理完全正确.

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + a \ln x$ 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $a > 1$ B、 $- 1 < a < 0$ C、 $a < 1$ D、 $0 < a < 1$

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10. 已知 $(1 - 3 x)^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{9} x^{9}$ ，则 $| a_{0} | + | a_{1} | + ⋯ + | a_{9} |$ 等于（）

A、 $2^{9}$ B、 $4^{9}$ C、 $3^{9}$ D、1

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - m x$ ( $e$ 为自然对数的底数)，若 $f (x) > 0$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- \infty ， e)$ C、 $(\frac{e^{2}}{4} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{e^{2}}{4})$

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12. 一个五位自然 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} ， a_{i} \in {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ ，当且仅当 $a_{1} > a_{2} > a_{3} ， a_{3} < a_{4} < a_{5}$ 时称为“凹数” $($ 如32014，53134等 $)$ ，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（）

A、110 B、137 C、145 D、146

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二、填空题

13. 若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝ $\sqrt{5}$ ，则复数z＝

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14. $(1 + \frac{1}{x^{2}}) {(1 + x)}^{6}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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15. 已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为．

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16. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ，且满足 $f (x) + x f^{'} (x) > 0$ （ $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数），则不等式 $(x - 1) f (x^{2} - 1) < f (x + 1)$ 的解集为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 (a + 1) x^{2} + 6 a x + 8$ ，其中 $a \in R$ ，已知 $f (x)$ 在 $x = 3$ 处取得极值.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在点 $A (1 ， f (1))$ 处切线的方程.

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18. 如图，从左到右有5个空格.

(1)、若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？

(2)、若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？

(3)、若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？

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19. 已知二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是 $2 ： 5$ ，按要求完成以下问题：

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中常数项；

(3)、计算式子 $C_{6}^{0} 2^{6} + C_{6}^{1} 2^{5} + C_{6}^{2} 2^{4} + C_{6}^{3} 2^{3} + C_{6}^{4} 2^{2} + C_{6}^{5} 2^{1} + C_{6}^{6} 2^{0}$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - a \ln x$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， e^{2})$ 内恰有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

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21. 北京市政府为做好 $A P E C$ 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为 $\frac{1}{6}$ ，第二轮检测不合格的概率为 $\frac{1}{10}$ ，两轮检测是否合格相互没有影响.

(1)、求该海产品不能销售的概率；

(2)、如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利—80元）.已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利 $ξ$ 元，求 $ξ$ 的分布列.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2}$ （ $x > 0 ， e$ 为自然对数的底数）， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.
（Ⅰ）当 $a = 2$ 时，求证 $f (x) > 1$ ；

（Ⅱ）是否存在正整数a，使得 $f^{'} (x) \geq x^{2} \ln x$ 对一切 $x > 0$ 恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由.

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