浙江省杭州市富阳区两校2021-2022学年高一下学期数学3月检测试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。

1. 设z= $-$ 3+2i，则在复平面内 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $M = {x | - 4 < x < 2} ， N = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ，则 $M \cap N$ =（）

A、 ${x | - 4 < x < 3}$ B、 ${x | - 4 < x < - 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 2}$ D、 ${x | 2 < x < 3}$

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3. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 2 (x > 0) \\ e^{x + 1} (x \leq 0) \end{array}_{.}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、-1

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4. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 1) ， \vec{b} = (1 ， 3)$ ，则 $\vec{a} ， \vec{b}$ 夹角的余弦值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

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5. 正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么 $\overset{⇀}{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{D A}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{A D}$ .

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6. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 $a = 4$ ， $b = 3$ ， $\sin A = \frac{2}{3}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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7. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 $A B$ ，高为 $(15 \sqrt{3} - 15) m$ ，在它们之间的地面上的点 $M$ （ $B ， M ， D$ 三点共线）处测得楼顶 $A$ ，教堂顶 $C$ 的仰角分别是 $15 °$ 和 $60 °$ ，在楼顶 $A$ 处测得塔顶 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A、 $20 m$ B、 $30 m$ C、 $20 \sqrt{3} m$ D、 $30 \sqrt{3} m$

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8. 若 $(a + b + c) (b + c - a) = 3 b c$ ，且 $\sin A = 2 \sin B \cos C$ ，那么 $△ A B C$ 是（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。。

9. 下列两个向量，不能作为基底向量的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0 ， 0) ， \vec{e_{2}} = (1 ， 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (2 ， - 1) ， \vec{e_{2}} = (1 ， 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (- 1 ， - 2) ， \vec{e_{2}} = (1 ， 2)$ D、 $\vec{e_{1}} = (1 ， 1) ， \vec{e_{2}} = (1 ， 2)$

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10. 若 $0 < m < n < 1$ ，则（）

A、 $3^{n} < 3^{m}$ B、 $\log_{3} m < \log_{3} n$ C、 ${(\frac{1}{3})}^{m} > {(\frac{1}{3})}^{n}$ D、 $\log_{m} 3 < \log_{n} 3$

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11. 下列对三角形解的个数的判断中正确的是（）

A、 $a = 30 ， b = 25 ， A = 150^{\circ}$ ，有一解 B、 $a = 7 ， b = 14 ， A = 30^{\circ}$ ，有两解 C、 $a = 6 ， b = 9 ， A = 45^{\circ}$ ，有两解 D、 $a = \sqrt{3} ， b = \sqrt{6} ， A = 60^{\circ}$ ，无解

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12. 已知四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P$ 为平面 $A B C D$ 内一点，则 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot (\vec{P C} + \vec{P D})$ （）

A、无最小值 B、最大值为-4 C、最小值为-4 D、无最大值

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若 $tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{6}$ ，则 $tan α =$ .

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14. 复数 $\frac{1 + i}{1 - 2 i}$ （ $i$ 为虚数单位）的共轭复数是．

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15. 计算 $\log_{3} 27 + \lg 25 + \lg 4 + 7^{\log_{7} 2} + \log_{7} 1 =$ ．

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16. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，则 $| 3 \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分。

17. 在平面直角坐标系中，已知 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ .
（Ⅰ）若 $(3 \vec{a} - \vec{b}) // (\vec{a} + k \vec{b})$ ，求实数k的值；

（Ⅱ）若 $(\vec{a} - t \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求实数t的值.

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18. 设函数 $f (x) = \cos x \sin (x + \frac{π}{6}) (x \in R)$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ ；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足 $(\sqrt{2} b - a) \cos C = c \cdot \cos A$

(1)、求角C的大小；

(2)、若a= $4 \sqrt{2}$ ，b= $\sqrt{2}$ c，求△ABC的面积

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20. 已知 $△ A B C$ 中 $∠ C$ 是直角， $C A = C B$ ，点 $D$ 是 $C B$ 的中点， $E$ 为 $A B$ 上一点.

(1)、设 $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C D} = \vec{b}$ ，当 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，请用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 来表示 $\vec{A B}$ ， $\vec{C E}$ .

(2)、当 $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ 时，求证： $A D ⊥ C E$ .

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21. 如图，某测量人员为了测量富春江北岸不能到达的两点 $A ， B$ 之间的距离，她在富春江南岸找到一个点 $C$ ，从 $C$ 点可以观察到点 $A ， B$ ；找到一个点 $D$ ，从 $D$ 点可以观察到点 $A ， C$ ；找到一个点 $E$ ，从 $E$ 点可以观察到点 $B ， C$ ；并测量得到数据： $∠ A C D = 90^{\circ}$ ， $∠ A D C = 60^{\circ}$ ， $∠ A C B = 15^{\circ}$ ， $∠ B C E = 105^{\circ}$ ， $∠ C E B = 45^{\circ}$ ， $D C = C E = 100$ 米．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求 $A B^{2}$

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22. 已知向量 $\vec{m} = (\sin A ， \frac{1}{2})$ 与 $\vec{n} = (3 ， \sin A + \sqrt{3} \cos A)$ 共线，其中A是 $△ A B C$ 的内角．

(1)、求角A的大小；

(2)、若BC=2，求 $△ A B C$ 面积S的最大值

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