2022年浙教版数学八年级下册期中复习专题1 代数

试卷更新日期：2022-04-03 类型：复习试卷

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一、单选题（每题4分，共40分）

1. 下列计算正确的是（　　）

A、 $(3 - 2 \sqrt{2}) (3 - 2 \sqrt{2}) = 9 - 2 \times 3 = 3$ B、 $(2 \sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 2 x - y$ C、 ${(3 - \sqrt{3})}^{2} = 3^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 6$ D、 $(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) = 1$

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2. 已知实数a满足条件 $| 2011 - a | + \sqrt{a - 2012} = a$ ，那么 $a - 2011^{2}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A、2010 B、2011 C、2012 D、2013

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3. 设等式 $\sqrt{a (x - a)} + \sqrt{a (y - a)} = \sqrt{x - a} - \sqrt{a - y}$ 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 $\frac{3 x^{2} + x y - y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}}$ 的值是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{5}{3}$

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4. 已知x为实数，化简 $\sqrt{- x^{3}} - x \sqrt{- \frac{1}{x}}$ 的结果为（　　）

A、 $(x - 1) \sqrt{- x}$ B、 $(- 1 - x) \sqrt{- x}$ C、 $(1 - x) \sqrt{- x}$ D、 $(1 + x) \sqrt{- x}$

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5. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，设x= $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ > $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，故x>0，由x²= ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$ = $3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$ =2，解得x= $\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ 。根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$ 后的结果为（）

A、5+3 $\sqrt{6}$ B、5+ $\sqrt{6}$ C、5- $\sqrt{6}$ D、5-3 $\sqrt{6}$

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6. 已知 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 $x = 9$ ， $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $max {\sqrt{9}$ ， $9^{2}$ ， $9}$ =81﹒当 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\frac{1}{16}$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{512}$ B、 $\frac{1}{256}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{16}$

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7. 设a、b为x²+x﹣2011=0的两个实根，则a³+a²+3a+2014b=（）

A、2014 B、﹣2014 C、2011 D、﹣2011

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8. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + 2 n = 0$ 有两个整数根且乘积为正，关于 $y$ 的一元二次方程 $y^{2} + 2 n y + 2 m = 0$ 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ${(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} \geq 2$ ；③ $- 1 \leq 2 m - 2 n \leq 1$ ，其中正确结论的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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9. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 6 x + (a - 2) | x - 3 | + 9 - 2 a = 0$ 有且仅有两个不相等的实根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a = - 2$ B、 $a > 0$ C、 $a = - 2$ 或a>0 D、 $a \leq - 2$ 或a>0

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10. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 下列说法：①当 $b = a + c$ 时，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有一根为 $x = - 1$ ；②若 $a b > 0 ， b c < 0 ，$ 则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ ；④若 $b = 2 a + 3 c$ ，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根．其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、①②④ D、②③④

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二、填空题（每空5分，共30分）

11. 已知， $y = \sqrt{{(x - 3)}^{2}} + 4 - x$ ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是.

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12. 已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的值也是整数，那么称（a,b）是2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的一个“理想数对”。如（1，1）使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ =4，（4，4）使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 所以（1,1）和（4，4）都是2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的“理想数对”，请你再写出一个2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的“理想数对”： .

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13. 若实数a，b，c满足关系式 $\sqrt{a - 9 + b} + \sqrt{9 - a - b} = \sqrt{4 a - c + 4 b}$ ，则c的平方根为.

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14. 如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）
①方程x²﹣x﹣2＝0是倍根方程；

②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m²+5mn+n²＝0；

③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px²+3x+q＝0是倍根方程；

④若方程以ax²+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b²＝9ac.

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15. 等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x²-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是．

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16. 若方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的根也是方程 $x^{4} + a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $a + b + 2 c =$ .

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三、计算题（共5题，共42分）

17. 若x ， y为实数，且y＝ $\sqrt{1 - 4 x}$ ＋ $\sqrt{4 x - 1}$ ＋ $\frac{1}{2}$ ．求 $\sqrt{\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}}$ － $\sqrt{\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}}$ 的值．

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18. 先化简，再求值： $[\frac{4}{(\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x y} (\sqrt{y} - \sqrt{x})}] \div \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$ ，其中x＝1，y＝2．

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19. 解方程或求值:

(1)、 $3 x^{2} - \sqrt{3} x - 12 = 0$

(2)、 $\frac{2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}}{5 - \sqrt{6}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}$

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20. 已知函数 $y = k x$ ，其中 $x > 0$ ，且满足 $\frac{\sqrt{x y} - y}{\sqrt{x y} - x} + 3 = 0$ .

(1)、求 $k$ ；

(2)、求 $\frac{2 x - \sqrt{x y} - 3 y}{x + 2 \sqrt{x y} + y}$ 的值.

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21. 观察下列式子变形过程，完成下列任务：
$\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}} = \sqrt{{(1 + \frac{1}{n})}^{2} - \frac{2}{n} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}}$

$= \sqrt{{(\frac{n + 1}{n})}^{2} - 2 \frac{n + 1}{n} \cdot \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}}$

$= \sqrt{{(\frac{n + 1}{n} - \frac{1}{n + 1})}^{2}} = \frac{n + 1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

$= 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

(1)、类比上述变形过程的基本思路，猜想 $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}}$ 的结果并验证；

(2)、算： $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{99^{2}} + \frac{1}{100^{2}}}$ .

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四、综合题（（共4题，共38分））

22. 阅读材料：
材料1 若一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x₁ ， x₂则x₁+x₂＝﹣ $\frac{b}{a}$ ，x₁x₂＝ $\frac{c}{a}$ .

材料2 已知实数m，n满足m²﹣m﹣1＝0，n²﹣n﹣1＝0，且m≠n，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值.

解：由题知m，n是方程x²﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{{(m + n)}^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1}$ ＝﹣3.

根据上述材料解决以下问题：

(1)、材料理解：一元二次方程5x²+10x﹣1＝0的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁+x₂＝， x₁x₂＝.

(2)、类比探究：已知实数m，n满足7m²﹣7m﹣1＝0，7n²﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m²n+mn²的值：

(3)、思维拓展：已知实数s、t分别满足19s²+99s+1＝0，t²+99t+19＝0，且st≠1.求 $\frac{s t + 4 s + 1}{t}$ 的值.

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23. 关于x的方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} + 2 = 0$ 有两个实数根x₁ ， x₂.

(1)、求实数k的取值范围；

(2)、若x₁ ， x₂满足 $| x_{1} | + | x_{2} | = x_{1} x_{2} - 1$ ，求k的值.

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24. 如果方程x²+px+q＝0满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足G＝ $\frac{p^{2}}{q}$ ，例如x²﹣7x+12＝0有整数解3和4，所以x²﹣7x+12＝0属于同族方程，所以G＝ $\frac{{(- 7)}^{2}}{12}$ ＝ $\frac{49}{12}$ ．

(1)、如果同族方程x²+px+q＝0中有两个相等的解、我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有G＝4；

(2)、关于x的一元二次方程kx²﹣（k﹣3）x﹣3＝0属于同族方程，求整数k的值．

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25. 如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ， a，b，c是常数）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的一半时，那么称这样的方程为“半根方程”．例如，一元二次方程 $(x - 3) (x - 6) = 0$ 的两个根是3和6，该方程可化简为 $x^{2} - 9 x + 18 = 0$ ，则方程 $x^{2} - 9 x + 18 = 0$ 就是半根方程．

(1)、请你再写出一个半根方程（要求化成一般形式）；

(2)、若关于x的方程 $(2 x - 1) (m x - n) = 0 (m \neq 0)$ 是半根方程，求 $\frac{n}{m - n}$ 的值．

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