2022年浙教版数学八下期中复习阶梯训练：一元二次方程（优生集训）-在线组卷题库

1. 已知方程x²+bx+a＝0①，和方程ax²+bx+1＝0②（a≠0）.

(1)、若方程①的根为x₁＝2，x₂＝3，求方程②的根；

(2)、当方程①有一根为x＝r时，求证x＝

\frac{1}{r}

是方程②的根；

(3)、若a²b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求

\frac{m s}{n t}

的值.

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2. 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米.

(1)、若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝米.

(2)、若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长.

(3)、饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由.

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3. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，cm ， AB＝6

\sqrt{3}

cm ， BC=6cm，点P从点A出发，以每秒

\sqrt{3}

cm的速度沿AB匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒3cm的速度沿B→C→A匀速运动，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．

(1)、当t＝1时，直接写出P ， Q两点间的距离．

(2)、是否存在t ，使得△BPQ的面积是△ABC面积的

\frac{5}{12}

？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

(3)、当△BPQ为直角三角形时，求t的取值范围．

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4. 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=

\sqrt{2}

c，这时我们把关于x的形如ax²+

\sqrt{2} c x

+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.

请解决下列问题：

(1)、写出一个“勾系一元二次方程”；

(2)、求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax²+

\sqrt{2} c x

+b=0必有实数根；

(3)、若x=-1是“勾系一元二次方程”ax²+

\sqrt{2} c x

+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是

12 $\sqrt{2}$ ，求△ABC面积.

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5. 如果关于

x

的一元二次方程

a x^{2} + b x + c = 0

有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为

t

，则另一个根为

2 t

，因此

a x^{2} + b x + c = a (x - t) (x - 2 t) = a x^{2} - 3 a t x + 2 t^{2} a

，所以有

b^{2} - \frac{9}{2} a c = 0

；我们记“

K = b^{2} - \frac{9}{2} a c

”即

K = 0

时，方程

a x^{2} + b x + c = 0

为倍根方程；

下面我们根据此结论来解决问题：

(1)、方程①

2 x^{2} - 3 x + 1 = 0

；方程②

x^{2} - 2 x - 8 = 0

；方程③

x^{2} + x = - \frac{2}{9}

这几个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；

(2)、若

(x - 1) (m x - n) = 0

是倍根方程，则

\frac{2 n}{m}

的值为；

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6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD.

(1)、若∠A＝28°，求∠ACD的度数.

(2)、设BC＝a，AC＝b.

①线段AD的长是方程x²+2ax﹣b²＝0的一个根吗？说明理由.

②若AD＝EC，求 $\frac{a}{b}$ 的值.

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7. 阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道(一纵一横)和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示．设步道的宽为a(m)．

(1)、求步道的宽．

(2)、为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m² ，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．

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8. 某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超出1台，每台售价将均减少5元”，该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：设该商店购进并销售学习机x台。（假设进货数量与你出数量相等）

(1)、当x>40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价：

(2)、当该商店一次性购进并销售学习机60台时，每台学习机可以获利多少元?

(3)、若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台?

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9. 如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．问：

(1)、P、Q两点从开始出发多长时间时，四边形PBCQ的面积是33cm^2?

(2)、P、Q两点从开始出发多长时间时，点P与点Q之间的距离是10cm?

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10. 要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．

(1)、求小亮设计方案中甬路的宽度x；

(2)、求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同）

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11. “4•20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．

(1)、求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？

(2)、因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑

\frac{1}{2m}

次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．

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12. 关于x的一元二次方程x²+2x+2m=0有两个不相等的实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、若x₁ ， x₂是一元二次方程x²+2x+2m=0的两个根，且x₁²+x₂²=8，求m的值．

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13. 已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²－2(m＋1)x＋m²＋5＝0的两个实数根．

(1)、若(x₁－1)(x₂－1)＝28，求m的值；

(2)、已知等腰△ABC的一边长为7，若x₁、x₂恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

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14. “饺子“又名“交子”或者“娇耳”，是新旧交替之意，它是重庆人民的年夜饭必吃的一道美食．今年除夕，小侨跟着妈妈一起包饺子准备年夜饭，体验浓浓的团圆气氛．已知小侨家共10人，平均每人吃10个饺子，计划用10分钟将饺子包完．

(1)、若妈妈每分钟包饺子的速度是小侨速度的2倍少2个，那么小侨每分钟至少要包多少个饺子？

(2)、小侨以（1）问中的最低速度，和妈妈同时开始包饺子，妈妈包饺子的速度在（1）问的最低速度基础上提升了

\frac{5}{4}

a%，在包饺子的过程中小侨外出耽误了

\frac{a}{40}

分钟，返家后，小侨与妈妈一起包完剩下的饺子，所用时间比原计划少了

\frac{1}{2}

a%，求a的值．

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15. 如图，x轴表示一条东西方向的道路，y轴表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米时的速度由西向东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进．有一颗百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米．

问：

(1)、离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？

(2)、离开路口经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？

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16. 已知关于x的一元二次方程

a x^{2} + (2 + 2 a) x + a + 2 = 0

(a \neq 0)

．

(1)、求证：此方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若此方程的两个根都为整数，求整数a的值．

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17. 绿色出行是对环境影响最小的出行方式，“共享单车”已成为北京的一道靓丽的风景线．已知某地区从2017年1月到5月的共享单车投放量如右图所示．

(1)、求1月至2月共享单车投放量的增长率；

(2)、求2月至4月共享单车投放量的月平均增长率．

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18. 已知关于x的一元二次方程

x^{2} + m x + \frac{1}{2} m - 1 = 0

．

(1)、求证：此方程有两个不相等的实数根；

(2)、选择一个m的值，并求出此时方程的根．

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19. 某商业街有店面房共195间，2014年平均每间店面房的年租金为10万元，由于物价上涨，到2016年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元，据预测，当每间的年租金定为12.1万元时，可全部租出；若每间的年租金每增加1万元，就要少租出10间．该商业街管委会要为租出的商铺每间每年交各种费用1.1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．

(1)、求2014年至2016年平均每间店面房年租金的平均增长率；

(2)、当每间店面房的年租金上涨多少万元时，该商业街的年收益（收益=租金﹣各种费用）为2305万元？

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20. 已知关于x的方程x²﹣2（k﹣1）x+k²=0有两个实数根x₁ ， x₂ ．

(1)、求k的取值范围；

(2)、若x₁+x₂=x₁x₂﹣5，求k的值．

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2022年浙教版数学八下期中复习阶梯训练：一元二次方程（优生集训）

一、综合题