2022年浙教版数学八下期中复习阶梯训练：二次根式（优生加练）

试卷更新日期：2022-04-03 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 已知a= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，b= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则a与b的关系是（）

A、相等 B、互为相反数 C、互为倒数 D、平方值相等

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2. 已知实数a满足条件 $| 2011 - a | + \sqrt{a - 2012} = a$ ，那么 $a - 2011^{2}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A、2010 B、2011 C、2012 D、2013

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3. 若二次根式 $\sqrt{2 - m}$ 有意义，且关于x的分式方程 $\frac{m}{1 - x}$ +2＝ $\frac{3}{x - 1}$ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（）

A、﹣7 B、﹣6 C、﹣5 D、﹣4

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4. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，设x= $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ > $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，故x>0，由x²= ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$ = $3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$ =2，解得x= $\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ 。根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$ 后的结果为（）

A、5+3 $\sqrt{6}$ B、5+ $\sqrt{6}$ C、5- $\sqrt{6}$ D、5-3 $\sqrt{6}$

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5. 设等式 $\sqrt{a (x - a)} + \sqrt{a (y - a)} = \sqrt{x - a} - \sqrt{a - y}$ 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 $\frac{3 x^{2} + x y - y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}}$ 的值是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{5}{3}$

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6. 下列各实数中最大的一个是（）

A、5× $\sqrt{0.039}$ B、 $\frac{3.141}{π}$ C、 $\frac{7}{\sqrt{14} + \sqrt{7}}$ D、 $\sqrt{0.3}$ + $\sqrt{0.2}$

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7. 若等腰三角形的两边长分别为 $\sqrt{50}$ 和 $\sqrt{72}$ ，则这个三角形的周长为（　　）

A、 $11 \sqrt{2}$ B、 $16 \sqrt{2}$ 或 $17 \sqrt{2}$ C、 $17 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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8. 如果最简根式 $\sqrt{3 a - 8}$ 与 $\sqrt{17 - 2 a}$ 是同类二次根式，那么使 $\sqrt{4 a - 2 x}$ 有意义的x的取值范围是（　　）

A、x≤10 B、x≥10 C、x＜10 D、x＞10　

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9. 计算 $4 \sqrt{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{8}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

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10. 已知x为实数，化简 $\sqrt{- x^{3}} - x \sqrt{- \frac{1}{x}}$ 的结果为（　　）

A、 $(x - 1) \sqrt{- x}$ B、 $(- 1 - x) \sqrt{- x}$ C、 $(1 - x) \sqrt{- x}$ D、 $(1 + x) \sqrt{- x}$

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二、填空题

11. 已知， $y = \sqrt{{(x - 3)}^{2}} + 4 - x$ ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是.

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12. 完成下列各题，

(1)、若 $\frac{3}{a} = \frac{4}{b}$ ，那么 $\sqrt{\frac{2 a + b}{b}}$ 的值是．

(2)、化简： $\sqrt{22 - 6 \sqrt{13}} =$ ．

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13. 我们在二次根式的化简过程中得知： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1, \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2},$ $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ，…，则 $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2019}})$ $(\sqrt{2020} + 1) =$

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14. 观察下列等式：
① $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ；

② $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

③ $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7} + \sqrt{5}) (\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

…

参照上面等式计算方法计算：

$\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{3 \sqrt{11} + \sqrt{101}} =$ .

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15. 化简 $\sqrt{- a^{3}} =$ .

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16. 若实数 $a = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ，则代数式 $a^{2} - 4 a + 4$ 的值为.

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17. 已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的值也是整数，那么称（a,b）是2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的一个“理想数对”。如（1，1）使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ =4，（4，4）使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 所以（1,1）和（4，4）都是2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的“理想数对”，请你再写出一个2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的“理想数对”： .

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三、解答题

18. 已知 $\frac{1}{1 \sqrt{2} + 2 \sqrt{1}}$ + $\frac{1}{2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}$ + $\frac{1}{3 \sqrt{4} + 4 \sqrt{3}}$ +…+ $\frac{1}{n \sqrt{n + 1} + (n + 1) \sqrt{n}}$ ＝ $\frac{49}{50}$ ，求n的值.

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19. 已知x，y为实数，且满足 $\sqrt{1 - x} - (y - 1) \sqrt{1 - y} = 0$ ，求 $x^{2020} - y^{2020}$ 的值.

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20. 已知 $△ A B C$ 的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，化简 $\sqrt{{(a + b + c)}^{2}} + \sqrt{{(a - b - c)}^{2}} - \sqrt{{(c - a - b)}^{2}}$ .

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21. 阅读下面材料，回答问题：

(1)、在化简 $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ = $\sqrt{2 - 2 \sqrt{2 \times 3} + 3}$ = $\sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2}}$ = $\sqrt{2} - \sqrt{3}$

小李的化简如下： $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ = $\sqrt{2 - 2 \sqrt{3 \times 2} + 3}$ = $\sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}}$ = $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．

(2)、请你利用上面所学的方法化简：① $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ ；② $\sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$ ．

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22. 先阅读下面材料，然后再根据要求解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足 $a + \sqrt{2} b = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，求 $b^{a}$ 的值？

解：由题意得： $(a - 3) + (b + 2) \sqrt{2} = 0$ ，

因为a、b都是有理数，

所以a-3、b+2也是有理数，

由于 $\sqrt{2}$ 是无理数，

所以a-3＝0、b+2＝0，

所以a＝3、b＝-2，

所以 $b^{a} = {(- 2)}^{3} = - 8$ ，

问题：设x、y都是有理数，且满足 $x^{2} - 2 y + \sqrt{5} y = 8 + 4 \sqrt{5}$ ，求x+y的值，

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23.

(1)、设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为 $\sqrt{a^{2} + c^{2}}$ ， $\sqrt{b^{2} + d^{2}}$ ， $\sqrt{{(b - a)}^{2} + {(d - c)}^{2}}$ ，求此三角形的面积；

(2)、已知a，b均为正数，且a+b=2，求U= $\sqrt{a^{2} + 4} + \sqrt{b^{2} + 1}$ 的最小值．

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四、综合题

24. 王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题.先阅读，再回答问题.

(1)、小青编的题，观察下列等式：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} - 1$

$\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{2 (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2 (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{2 (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

直接写出以下算式的结果：

$\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} =$ ； $\frac{2}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$ （n为正整数）＝；

(2)、小明编的题，由二次根式的乘法可知：
${(\sqrt{3} + 1)}^{2} = 4 + 2 \sqrt{3}$ ， ${(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2} = 8 + 2 \sqrt{15}$ ， ${(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} = a + b + 2 \sqrt{a b} (a \geq 0 ， b \geq 0)$

再根据平方根的定义可得

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1$ ， $\sqrt{8 + 2 \sqrt{15}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ ， $\sqrt{a + b + 2 \sqrt{a b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} (a \geq 0 ， b \geq 0)$

直接写出以下算式的结果：

$\sqrt{6 + 2 \sqrt{5}} =$ ， $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} =$ ， $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} =$ ：

(3)、王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：
$(\frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{9} + \sqrt{7}} + \frac{2}{\sqrt{11} + \sqrt{9}}) \cdot \sqrt{12 + 2 \sqrt{11}}$

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25. 观察下列等式：
① $\sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 1 \times 3$ .

② $\sqrt{17^{2} - 8^{2}} = 3 \times 5$ .

③ $\sqrt{37^{2} - 12^{2}} = 5 \times 7$ .

根据上述等式的规律解次下列问题：

(1)、完成第4个等式： $\sqrt{65^{2} - 16^{2}} =$

(2)、写出你猜想的第 $n$ 个等式(用含 $n$ 的代数式表示），并证明其正确性.

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