湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（）种．

A、 $A_{10}^{5}$ B、 $C_{10}^{5}$ C、10⁵ D、5¹⁰

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2. 已知 ${(\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则 $n =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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3. 两位男生和两位女生排成一排照相，则两位女生不相邻的排法种数是（）

A、24 B、12 C、8 D、4

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4. 曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线如图所示，则 $f^{'} (1) - f (1) =$ （）

A、0 B、-1 C、1 D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 对于一组具有线性相关关系的样本数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，其样本中心为 $(\bar{x} ， \bar{y})$ ，回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则相应于样本点 $(x_{i} ， y_{i})$ 的残差为（）

A、 $y_{i} - \bar{y}$ B、 $\bar{y} - y_{i}$ C、 $y_{i} - (\hat{b} x_{i} + \hat{a})$ D、 $(\hat{b} x_{i} + \hat{a}) - y_{i}$

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6. 甲乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、昙华林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件 $A$ ：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事件 $B$ ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{7}{16}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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7. 多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有i（其中 $i = 2, 3, 4$ ）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量 $ξ_{i}$ （其中 $i = 2, 3, 4$ ），则有（）

A、 $E (ξ_{2}) + 2 E (ξ_{4}) < 3 E (ξ_{3})$ B、 $E (ξ_{2}) + 2 E (ξ_{4}) > 3 E (ξ_{3})$ C、 $2 E (ξ_{2}) + E (ξ_{4}) < 3 E (ξ_{3})$ D、 $2 E (ξ_{2}) + E (ξ_{4}) > 3 E (ξ_{3})$

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8. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 $A B C D$ （边长为2个单位）的顶点 $A$ 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为 $i (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 6)$ ，则棋子就按逆时针方向行走 $i$ 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 $A$ 处的所有不同走法共有

A、22种 B、24种 C、25种 D、27种

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二、多选题

9. 为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度 $c$ 随时间 $t$ 的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间 $t$ 变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（）

A、在 $t_{1}$ 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B、在 $t_{2}$ 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同； C、在 $[t_{2} ， t_{3}]$ 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D、在 $[t_{1} ， t_{2}]$ 和 $[t_{2} ， t_{3}]$ 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.

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10. 给出下列说法，其中正确的有（）

A、若 $X$ 是离散型随机变量，则 $E (2 X + 3) = 2 E (X) + 3$ ， $D (2 X + 3) = 4 D (X) + 9$ ； B、如果随机变量 $X$ 服从两点分布，且成功概率为 $p$ ，则 $E (X) = p$ ； C、在回归分析中，相关指数 $R^{2}$ 为0.98的模型比 $R^{2}$ 为0.80的模型拟合的效果要好﹔ D、对于独立性检验，随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k$ 值越小，判定“两个分类变量有关系”犯错误的概率越大.

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11. 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，“初等函数”是由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个解析式表示，如函数 $f (x) = x^{x} (x > 0)$ ，我们可以作变形： $f (x) = x^{x} = e^{l n x^{x}} = e^{x l n x} = e^{t}$ （其中 $t = x l n x$ ），所以 $f (x)$ 可看作是由函数 $y = e^{t}$ 和 $t = x l n x$ 复合而成的，即 $f (x) = x^{x} (x > 0)$ 为初等函数.那么，对于初等函数 $h (x) = x^{\frac{1}{x}} (x > 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、有极小值 B、有最小值 C、有极大值 D、有最大值

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12. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值可能是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{7}{12}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{3}{4}$

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三、填空题

13. 曲线 $y = \frac{\sin x}{x}$ 在点M(π，0)处的切线方程为．

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14. 在 $(1 - 2 x)^{5} \cdot (1 + 3 x)^{4}$ 的展开式中，按 $x$ 的升幂排列的第3项为.

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15. 在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为 $X$ ，则 $E (X) =$ .

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16. 为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型 $y = c e^{k x}$ 拟合比较合适.令 $z = l n y$ ，得到 $z = 1.3 x + a$ ，经计算发现 $x$ ， $z$ 满足下表，则 $k =$ ， $c =$ .
天数 $x$ （天）
2
3
4
5
6
$z$
1.5
4.5
5.5
6.5
7

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四、解答题

17. 某制造企业坚持把质量作为建设企业的生命线，现从生产的一种产品中随机抽取500件，测量产品的质量指标值，得到如下频率分布直方图：
参考数据： $\sqrt{150} \approx 12.2$ ，若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

(1)、根据频率分布直方图，求样本平均数 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)、由频率分布直方图可以认为，该产品的质量指标值 $X$ 近似服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ，并把质量指标值在212.2及以上的产品称为优等品，试估算该产品为优等品的概率.

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18. 电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务.我们在使用电子邮件时发现一个有趣的现象：中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取40个邮箱名称，其中中国人的20个，外国人的20个，在20个中国人的邮箱名称中有15个含数字，在20个外国人的邮箱名称中有5个含数字.
参考公式和数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量）.
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、根据以上数据填写 $2 \times 2$ 列联表；

(2)、能否有99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”？

(3)、用样本估计总体，将频率视为概率.在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机调取6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为 $p_{1}$ ， “6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为 $p_{2}$ ，试比较 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ 的大小.

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19. 设函数 $f (x) = a e^{x} + c o s x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 2$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 内有两个不同的零点，求a的取值范围.

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20. 在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度.而系统能正常工作的概率称为设备的可靠度.为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”即一台正常设备，两台备用设备的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为 $r (0 < r < 1)$ ，它们之间相互不影响.

(1)、当 $r = 0.9$ 时，求计算机网络断掉的概率；

(2)、要使系统的可靠度不低于0.992，求 $r$ 的最小值；

(3)、已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种解决方案：
方案一：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；
方案二：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.
请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策.

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21. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 l n x$ 与 $g (x) = x + \frac{a}{x}$ 有相同的极值点.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [\frac{1}{e} ， 3]$ ，不等式 $\frac{f (x_{1}) - g (x_{2})}{k - 1} \leq 1$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 某生物研究所存有一批规格相同的瓶装溶液，部分瓶装溶液中含有细菌 $R$ ，现取出 $n (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ 瓶该规格溶液做实验，其中 $m$ 瓶含有细菌 $R$ ，实验需要把含有细菌 $R$ 的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验 $n$ 次；
方案二：混合检验，将 $n$ 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌 $R$ ，则 $n$ 瓶溶液全部不含有细菌 $R$ ；若检验结果含有细菌 $R$ ，就要对这 $n$ 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为 $n + 1$ .
参考数据： $l n 2 \approx 0.69$ ， $l n 3 \approx 1.10$ ， $l n 5 \approx 1.61$ ， $l n 7 \approx 1.95$ .

(1)、假设 $n = 5$ ， $m = 2$ ，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌 $R$ 的概率；

(2)、现对 $n$ 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌 $R$ 的概率均为 $P (0 \leq P \leq 1)$ .若采用方案一，需检验的总次数为 $ξ$ ，若采用方案二，需检验的总次数为 $η$ .
①若 $ξ$ 与 $η$ 的期望相等，试用 $n$ 表示 $P$ ；
②若 $P = 1 - e^{- \frac{1}{4}}$ ，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求 $n$ 的最大值.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

天数 $x$ （天）	2	3	4	5	6
$z$	1.5	4.5	5.5	6.5	7