湖北省十堰市城区普高协作体2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ 的共轭复数在复平面上对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 函数y= $\frac{1}{2}$ x²-㏑x的单调递减区间为（）

A、（-1，1] B、（0，1] C、[1，+∞） D、（0，+∞）

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3. 已知a为函数f（x）=x³–12x的极小值点，则a=（）

A、–4 B、–2 C、4 D、2

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4. 已知 $f (x) = x^{3} + x^{2} f^{'} (2) + 2 l n x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{11}{3}$ C、3 D、-3

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5. 从6名学生中选3名分别担任数学､物理､化学科代表，若甲､乙2人至少有一人入选，则不同的方法有（）

A、40种 B、60种 C、96种 D、120种

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6. 二项式 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中常数项为（）

A、5 B、10 C、-20 D、40

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7. 设函数 $y = f (x)$ 在定义域内可导， $y = f (x)$ 的图象如图所示，则导函数 $y = f^{^{'}} (x)$ 可能为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若函数 $f (x) = x^{2} + a x + \frac{1}{x}$ 在 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ 是增函数，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 0]$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $[0 ， 3]$ D、 $[3 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（）

A、若复数z满足 $| z - i | = \sqrt{5}$ ，则复数z对应的点在以 $(1 ， 0)$ 为圆心， $\sqrt{5}$ 为半径的圆上 B、若复数z满足 $z + | z | = 2 + 8 i$ ，则复数 $z = 15 + 8 i$ C、复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D、复数 $z_{1}$ 对应的向量为 $\overset{⇀}{O Z_{1}}$ ，复数 $z_{2}$ 对应的向量为 $\overset{⇀}{O Z_{2}}$ ，若 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} - z_{2} |$ ，则 $\overset{⇀}{O Z_{1}} ⊥ \overset{⇀}{O Z_{2}}$

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）

A、 $f (a) > f (e) > f (d)$ B、函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上递增，在 $[b ， d]$ 上递减 C、函数 $f (x)$ 的极值点为 $c$ ， $e$ D、函数 $f (x)$ 的极大值为 $f (b)$

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11. 下列说法正确的为（）

A、6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 $C_{6}^{2} C_{4}^{2} C_{2}^{2}$ 种不同的分法； B、6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有 $C_{6}^{1} C_{5}^{2} C_{3}^{3}$ 种不同的分法； C、6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法； D、6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．

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12. 设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{\ln x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 定义域是（0，+ $\infty$ ） B、x∈（0，1）时， $f (x)$ 图象位于x轴下方 C、 $f (x)$ 存在单调递增区间 D、 $f (x)$ 有且仅有两个极值点

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三、填空题

13. 若 $(x^{3} - \frac{1}{x})^{n}$ 展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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14. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有种.

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15. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f^{'} (x) - f (x) > 1$ ，且 $f (0) = 3$ ，则不等式（其中 $e$ 为自然对数的底数）的解集为．

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16. 函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，直线 $l ： y = k x + 2$ 是曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 3$ 处的切线，令 $g (x) = x f (x)$ ，则 $k =$ ， $g^{^{'}} (3) =$ .

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四、解答题

17. 已知复数 $z = 3 + b i (b \in R)$ ，且 $(1 + 3 i) \cdot z$ 为纯虚数.

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若 $ω = \frac{z}{2 + i}$ ，求复数 $ω$ 以及模 $| ω |$ .

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18. 已知函数f（x）＝ax³+bx+c在x＝2处取得极值为c﹣16.

(1)、求a、b的值；

(2)、若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.

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19. 4个男同学，3个女同学站成一排．

(1)、男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？

(2)、3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

(3)、任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

(4)、其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？
（用数字作答）

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - 2 a x + a (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

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21. 某种产品每件成本为6元，每件售价为 $x$ 元( $6 < x < 11$ )，年销售 $u$ 万件，若已知 $\frac{585}{8} - u$ 与 $(x - \frac{21}{4})^{2}$ 成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.

(1)、求年销售利润 $y$ 关于售价 $x$ 的函数关系式.

(2)、求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若对一切 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) ⩽ x^{2} - a x + 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、试判断函数 $y = l n x - \frac{1}{e^{x}} + \frac{2}{e x}$ 是否有零点？若有，求出零点的个数；若无，请说明理由.

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