河南省平顶山市大联盟2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | 0 \leq x \leq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 某个国家某种病毒传播的中期，感染人数 $y$ 和时间 $x$ （单位：天）在 $18$ 天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数 $y$ 和时间 $x$ 的回归方程类型的是（）

A、 $y = a + b x$ B、 $y = a + b e^{x}$ C、 $y = a + b \ln x$ D、 $y = a + b \sqrt{x}$

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3. 执行如图所示的程序框图，输出的 $S$ 值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2015} - 1$ C、 $\sqrt{2016} - 1$ D、 $\sqrt{2017} - 1$

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4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图，则下面结论中不正确的是（）

A、新农村建设后，种植收入增加 B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和没有超过经济收入的一半

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5. 现有3个命题：
$p_{1}$ ：函数 $f (x) = l g x - | x - 2 |$ 有2个零点.
$p_{2}$ ：面值为3分和5分的邮票可支付任何 $n (n > 7 ， x \in N)$ 分的邮资.
$p_{3}$ ：若 $a + b = c + d = 2$ ， $a c + b d > 4$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 中至少有1个为负数.
那么，这3个命题中，真命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 已知 $Δ A B C$ 是边长为4的等边三角形， $P$ 为平面 $A B C$ 内一点，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot (\overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C})$ 的最小值是（）

A、-2 B、 $- \frac{3}{2}$ C、-3 D、-6

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7. 运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 绕 $y$ 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）．

A、8π B、16π C、24π D、32π

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8. 已知 $i$ 为虚数单位，且 $z_{0} = \frac{1 - 3 i}{1 + 2 i}$ ，复数 $z$ 满足 $| z - z_{0} | = 1$ ，则复数 $z$ 对应点的轨迹方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

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9. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，E为 $A D$ 的中点，过点E的直线分别交直线 $A B ， A C$ 于不同的两点M，N ．设 $\vec{A B} = m \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = n \vec{A N}$ ，复数 $z = m + n i (m ， n \in R)$ ，当 $| z |$ 取到最小值时，实数m的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、2 D、 $\frac{12}{5}$

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10. 下面各选项用类比推理，现给出了以下四个结论
①已知三条直线 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a / / b$ ， $b / / c$ ，则 $a / / c$ ．类推出：已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ ． ②已知实数 $a$ 、 $b$ ，若方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 有实数根，则据判别式 $Δ \geq 0$ ，有 $a^{2} \geq 4 b$ ．类推出：已知复数 $a$ 、 $b$ ，若方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 有实数根，据判别式 $Δ \geq 0$ ，有 $a^{2} \geq 4 b$ ． ③以原点 $O (0 ， 0)$ 为圆心， $r$ 为半径的圆方程 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，类推出：以空间原点 $O (0 ， 0)$ 为球心，以 $r$ 为半径的球方程为 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$ ． ④若集合 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $⋯$ ， $A_{n}$ ，满足 $A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup ⋯ \cup A_{n} = A$ ，则称 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $⋯$ ， $A_{n}$ 为集合 $A$ 的一种离散．即 $A_{1} \cup A_{2} = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3}}$ 时，有 $3^{3}$ 种离散； $A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}}$ 时，有 $7^{4}$ 种离散； $A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4} = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， a_{5}}$ 时，有 $1 5^{5} = {(2^{4} - 1)}^{4 + 1}$ 种离散；
……，类推出： $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n + 1}}$ 时，必有 ${(2^{n} - 1)}^{n + 1}$ 种离散．
则正确的结论编号为（）

A、①③ B、③④ C、②③ D、①②

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11. 在钝角 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边，点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，若 $A G ⊥ B G$ ，则 $c o s C$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ B、 $[\frac{4}{5} ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ C、 $(\frac{\sqrt{6}}{3} ， 1)$ D、 $[\frac{4}{5} ， 1)$

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12. 设点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点.点 $A$ ， $B$ 分别在双曲线 $C$ 的左，右支上，若 $\overset{⇀}{A B} = 5 \overset{⇀}{F_{1} A} ， {\overset{⇀}{A F_{2}}}^{2} = \overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A F_{2}}$ ，且 $| \vec{A F_{2}} | < | \vec{B F_{2}} |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{65}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{85}}{5}$ C、 $\frac{13}{5}$ D、 $\frac{17}{7}$

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二、填空题

13. 某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过6道工序，分别记为

A ， B ， C ， D ， E ， F

.其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系.若加工工序

Y

必须要在工序

X

完成后才能开工，则称

X

为

Y

的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间(单位：小时)列表如下：

工序	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$
加工时间	3	4	2	2	2	1
紧前工序	无	$C$	无	$C$	$A ， B$	$D$

现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是小时.（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断）.

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14. 某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票，如图所示.这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为.
“我身边的榜样”评选选票
候选人
符号
注：
1.同意话“○”，不同意画“×”.
2.每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票.
甲
乙
丙

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15. 已知复数 $z_{1} = 2 + m i$ ， $z_{2} = \tan θ + i \cos 2 θ$ （ $θ$ 为实数），并且 $z_{1} = z_{2}$ ，则实数 $m =$ ．

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16. 不等式 $x^{1 - a} e^{x} - a l n x \geq 0$ 对任意 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，则正实数 $a$ 的取值范围为．

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三、解答题

17.

(1)、已知 $a > 0 ， b - a > 1$ ，求证 $\sqrt{1 + \frac{1}{a}} > \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b - 1}}$ ；

(2)、已知 $a > 0 ， b > 0 ， a b > 1$ ，求证 $a ， b$ 中至少有一个大于1.

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18. 已知复数 $z_{1} = c o s α + i s i n α$ ， $z_{2} = c o s β + i s i n β$ ， $| z_{1} - z_{2} | = \frac{2}{5} \sqrt{5}$ ，
求：

(1)、求 $c o s (α - β)$ 的值；

(2)、若 $- \frac{π}{2} < β < 0 < α < \frac{π}{2}$ ，且 $s i n β = - \frac{5}{13}$ ，求 $s i n α$ 的值.

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19. 某中学举行的“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数情况如下表，该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中一等奖代表队有6人.
一等奖
二等奖
三等奖
男生
30
？
20
女生
30
20
30

(1)、求二等奖代表队的男生人数；

(2)、从前排就坐的三等奖代表队员5人（2男3女）中随机抽取3人上台领奖，请求出只有一个男生上台领奖的概率；

(3)、抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生[ $-$ 2，2]内的两个均匀随机数x，y，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序，若电脑显示“中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求代表队队员获得奖品的概率.

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20. $B I M$ 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当 $B I M$ 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当 $B I M$ 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于 $170 c m$ 我们说身高较高，身高小于170cm我们说身高较矮.
【参考公式】
$R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ， $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\hat{e_{i}} = y_{i} - \hat{b} x_{i} - \hat{a}$ ， $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， (n = a + b + c + d)$ .
【参考数据】
$\sum_{i = 1}^{8} x_{n} y_{n} = 78880$ ， $\sum_{n = 1}^{8} x_{i}^{2} = 226112$ ， $\bar{x} = 168$ ， $\bar{y} = 58.5$ ， $\sum_{i = 1}^{8} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 226$ .
$P (K^{2} ⩾ k_{0})$
0.10
0.05
0.01
0.005
$k_{0}$
2.706
3.811
6.635
7.879

(1)、已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与 $B M I$ 指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有 $95 %$ 的把握认为男生的身高对 $B M I$ 指数有影响.

身高较矮
身高较高
合计
体重较轻
体重较重
合计

(2)、①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高 $(c m) x$
166
167
160
173
178
169
158
173
体重 $(k g) y$
57
58
53
61
66
57
50
66
根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为 $\hat{y} = 0.8 x - 75.9$ .利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字） $R^{2}$ ；
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
体重 $(k g) y$
57
58
53
61
66
57
50
66
残差 $\hat{e}$
0.1
0.3
0.9
$- 1.5$
$- 0.5$
②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为 $58 (k g)$ .请重新根据最最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.

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21. 武汉某科技公司为提高市场销售业绩，现对某产品在部分营销网点进行试点促销活动．现有两种活动方案，在每个试点网点仅采用一种活动方案，经统计，2018年1月至6月期间，每件产品的生产成本为10元，方案1中每件产品的促销运作成本为5元，方案2中每件产品的促销运作成本为2元，其月利润的变化情况如图①折线图所示．

(1)、请根据图①，从两种活动方案中，为该公司选择一种较为有利的活动方案（不必说明理由）；

(2)、为制定本年度该产品的销售价格，现统计了8组售价xi（单位：元/件）和相应销量y（单位：件）（i＝1，2，…8）并制作散点图（如图②），观察散点图可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的回归方程（系数精确到整数）；
参考公式及数据： $\bar{x} =$ 40， $\bar{y} =$ 660， $\sum_{i = 1}$ xiyi＝206630， $\sum_{i = 1}$ x $_{i}^{2} =$ 12968， $\hat{b} = \frac{\sum^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum^{n} {x_{i}}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，

(3)、公司策划部选 $\hat{y} = -$ 1200lnx+5000和 $\hat{y}$ ═ $- \frac{1}{3}$ x²+1200两个模型对销量与售价的关系进行拟合，现得到以下统计值（如表格所示）：

$\hat{y} = - 1200 l n x + 5000$
$\hat{y} = - \frac{1}{3}$ x²+1200
$\sum_{i = 1}^{8} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}$
52446.95
122.89
$\sum_{i = 1}^{8} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$
124650
相关指数
R $_{1}^{2}$
R $_{2}^{2}$
相关指数：R²＝1 $- \frac{\sum^{n} (y_{i} - \hat{y_{i}})^{2}}{\sum^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}$ ．
（i）试比较R₁² ， R₂²的大小（给出结果即可），并由此判断哪个模型的拟合效果更好；
（ii）根据（1）中所选的方案和（i）中所选的回归模型，求该产品的售价x定为多少时，总利润z可以达到最大？

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的直角坐标方程为 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设曲线 $C_{3} ： θ = α (ρ > 0 ， 0 < α < \frac{π}{2})$ 分别交曲线 $C_{2}$ 和曲线 $C_{1}$ 于点 $A ， B$ ，求 $\frac{| O B |}{| O A |}$ 的最大值及相应的 $α$ 的值．

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23. 已知 $f (x) = | x - a | x + | x - 2 | (x - a)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集 $M$ ；

(2)、对实数 $m ， n \in M$ ，证明 $\frac{m^{2}}{n - 1} + \frac{n^{2}}{m - 1} \geq 8$ .

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“我身边的榜样”评选选票
候选人	符号	注： 1.同意话“○”，不同意画“×”. 2.每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票.
甲
乙
丙

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.10	0.05	0.01	0.005
$k_{0}$	2.706	3.811	6.635	7.879

	身高较矮	身高较高	合计
体重较轻
体重较重
合计

编号	1	2	3	4	5	6	7	8
身高 $(c m) x$	166	167	160	173	178	169	158	173
体重 $(k g) y$	57	58	53	61	66	57	50	66

编号	1	2	3	4	5	6	7	8
体重 $(k g) y$	57	58	53	61	66	57	50	66
残差 $\hat{e}$	0.1	0.3	0.9	$- 1.5$	$- 0.5$

	$\hat{y} = - 1200 l n x + 5000$	$\hat{y} = - \frac{1}{3}$ x²+1200
$\sum_{i = 1}^{8} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}$	52446.95	122.89
$\sum_{i = 1}^{8} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	124650
相关指数	R $_{1}^{2}$	R $_{2}^{2}$

	一等奖	二等奖	三等奖
男生	30	？	20
女生	30	20	30