河北省定州市2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x ， y) | y = x - 1}$ ， $B = {y | y = - 2 x + 5}$ ，则 $A ∩ B$ （）

A、 ${(2 ， 1)}$ B、 ${2 ， 1}$ C、 ${\emptyset}$ D、 $\emptyset$

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2. 已知复数 $z_{1} = (n - 1) + (2 m + 1) i$ 与 $z_{2} = 2 + (n - 2) i$ 为共轭复数，其中 $m ， n \in R$ ， i为虚数单位，则 $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、1 B、5 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 下列命题中，正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} > x^{2}$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 < 0$ C、命题“ $\forall x \in R$ ， $\exists n \in N^{*}$ ，使得 $n > x^{2}$ ”的否定形式是“ $\exists x \in R$ ， $\forall n \in N^{*}$ 使得 $n \leq x^{2}$ ” D、方程 $x^{2} + (m - 3) x + m = 0$ 有两个正实数根的充要条件是 $m \in [0 ， 1]$

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4. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x$ ，若对任意 $x_{1} ， x_{2} ∈ [2 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{4} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$

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5. 设函数 $g (x) = f (x) + x^{2}$ 是定义在R上的奇函数，且 $F (x) = f (x) + 3^{x}$ ，若 $f (1) = 1$ ，则 $F (- 1) =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{7}{3}$ C、 $- \frac{8}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 设 $a \in R$ ，若“ $x > 2$ ”是“ $x^{2} - (a + 1) x + a > 0$ ”的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a < 2$ C、 $a > 2$ D、 $a \geq 2$

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7. 如图是一个底面半径和高都是1的圆锥形容器，匀速给容器注水，则容器中水的体积 $V$ 是水面高度 $x$ 的函数 $V = f (x)$ ，若正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $f (a) + f (b)$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2^{x} + 2^{- x}$ ，若不等式 $f (1 - a x) < f (2 + x^{2})$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 \sqrt{3} ， 2)$ B、 $(- 2 ， 2 \sqrt{3})$ C、 $(- 2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3})$ D、 $(- 2 ， 2)$

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二、多选题

9. 已知 $i$ 是虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A、 $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = 0$ B、复数 $z = 3 - i$ 的虚部为 $- i$ C、若复数z满足 $z^{2} = 3 + 4 i$ ，则z所对应的点在第一象限 D、已知复数z满足 $| z - 1 | = | z + i |$ ，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线

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10. 设正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a^{2} b + b^{2} a \geq \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{a + 2 b} + \frac{1}{2 a + b} \geq \frac{4}{3}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ D、 $a^{3} + b^{3} \geq \frac{1}{4}$

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11. 函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + 1)$ 与 $f (x + 2)$ 都为奇函数，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 为周期函数 C、 $f (x + 3)$ 为奇函数 D、 $f (x + 4)$ 为偶函数

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12. 半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为 $\sqrt{2}$ ，则（）

A、BF⊥平面EAB B、该二十四等边体的体积为 $\frac{20}{3}$ C、该二十四等边体外接球的表面积为8π D、PN与平面EBFN所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. 若不等式ax²＋bx＋2＞0的解集为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ ，则a－b＝．

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14. 已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm² ，则这个棱柱的侧面积为 cm².

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 3 a$ ， $g (x) = \frac{2}{x - 1}$ ．若对任意 $x_{1} \in [0, 3]$ ，总存在 $x_{2} \in [2, 3]$ ，使得 $| f (x_{1}) | \leq g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的值为．

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16. 一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的6个顶点），则此内切球与外接球表面积之比为 .

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0 ， x \in R}$ ，集合 $B = {x | m - 2 \leq x \leq m + 2 ， x \in R ， m \in R}$ .

(1)、若 $A ∩ B = [0 ， 3]$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $A \subseteq C_{R} B$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = | x + \frac{4}{x} - m | + m$ .

(1)、当 $m = 0$ 时求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x) \leq 5$ 在 $x \in [1 ， 4]$ 上恒成立求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知正数 $a$ 、 $b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ .

(1)、求 $a + b$ 的最小值；

(2)、求 $\frac{4 a}{a - 1} + \frac{9 b}{b - 1}$ 的最小值；

(3)、求 $2 a^{2} + b^{2} - 4 a - 2 b$ 的最小值.

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20. 如图所示的几何体中， $Δ A B E$ ， $Δ B C E$ ， $Δ D C E$ 都是等腰直角三角形， $A B = A E = D E = D C$ ，且 $B E ⊥ D C$ ， $C E ⊥ A B$ .

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面 $D C E$ ；

(2)、若 $F$ 为线段 $B C$ 的中点，求二面角 $F - A D - E$ 的余弦值.

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21. 泰州市民小王新购置了一套住房，拟对新房进行装修.在装修中需满足如下要求：①窗户面积应小于地板面积，②窗户面积不小于地板面积的 $\frac{1}{10}$ ， ③窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好.设窗户面积为m平方米，地板面积为n平方米，已知 $n = 2 m^{2} + k m + 2$ ，其中k为常数.已知当窗户和地板的总面积为22平方米时，窗户面积恰好是地板面积的 $\frac{1}{10}$ .

(1)、求实数k的值；

(2)、在满足装修的要求下，求窗户面积可以取到的范围；

(3)、当采光效果最好时，求窗户的面积.

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22. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / D C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $P D = D C = B C = 2 P A = 2 A B = 2$ ， $P D ⊥ D C$ .

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、设 $\vec{B M} = λ \vec{B D} (0 < λ < 1)$ ，当二面角 $A - P M - B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ 时，求 $λ$ 的值

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