广西岑溪市2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{1，3} C、{2，4，5} D、{1，2，3，4，5}

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2. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $x \pm 2 y = 0$ B、 $x \pm 4 y = 0$ C、 $2 x \pm y = 0$ D、 $4 x \pm y = 0$

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3. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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4. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 ， \\ x - y \geq - 1 ， \\ 2 x - y \leq 2 . \end{array}$ 则目标函数 $z = x - 3 y$ 的最小值为（）

A、1 B、-3 C、-9 D、-10

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5. 曲线 $y = x e^{x - 1}$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x - 1$ B、 $y = 2 x + 1$ C、 $y = x$ D、 $y = x - 2$

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6. 一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $6 + 4 \sqrt{2}$ B、 $8 + 4 \sqrt{2}$ C、 $6 + 4 \sqrt{3}$ D、 $8 + 4 \sqrt{3}$

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7. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 1$ ， $4 a_{2}$ ， $2 a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，则 $a_{1} a_{7} =$ （）

A、16 B、32 C、64 D、128

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8. 若将函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象沿x轴向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位后所得的图象关于y轴对称，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{12}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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9. 若 $θ$ 是 $Δ A B C$ 的一个内角，且 $\sin θ \cos θ = - \frac{1}{8}$ ，则 $\sin θ - \cos θ$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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10. 某公司一种型号的产品近期销售情况如下表

月份 $x$	2	3	4	5	6
销售额 $y$ （万元）	15.1	16.3	17.0	17.2	18.4

根据上表可得到回归直线方程 $\hat{y} = 0.75 x + \hat{a}$ ，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（）

A、19.5万元 B、19.25万元 C、19.15万元 D、19.05万元

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11. 已知函数 $f (x) = x \sin x$ ， $x \in R$ ，则 $f (- \frac{π}{4})$ ， $f (1)$ 及 $f (\frac{π}{3})$ 的大小关系是（）

A、 $f (- \frac{π}{4}) > f (1) > f (\frac{π}{3})$ B、 $f (1) > f (\frac{π}{3}) > f (- \frac{π}{4})$ C、 $f (\frac{π}{3}) > f (1) > f (- \frac{π}{4})$ D、 $f (\frac{π}{3}) > f (- \frac{π}{4}) > f (1)$

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12. 已知函数 $g (x) = {\begin{array}{l} l n x ， x > 1 \\ \frac{x + 3}{2} ， x \leq 1 \end{array}$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $g (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $x_{2} - x_{1}$ 的取值范围为（）

A、 $[3 - 2 l n 2 ， 2)$ B、 $[5 - 2 l n 2 ， e^{2} - 1]$ C、 $[5 - 2 l n 2 ， 4)$ D、 $(4 ， e^{2} - 1]$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 1)$ ，向量 $\vec{b} = (- 1 ， - \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大小为.

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14. 已知抛物线 $C ： y = m x^{2} (m \in R ， m \neq 0)$ 过点 $P (- 1 ， 4)$ ，则抛物线 $C$ 的准线方程为.

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15. 已知 $(1 - 2 x) (1 + x)^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} =$ ．

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，若 $B C = C A = A B = 2 \sqrt{3}$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = 4$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的半径为．

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三、解答题

17. 在锐角三角形ABC中， $a ， b ， c$ 分别是角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $a = 2 b s i n A$ ．

(1)、求 $∠ B$ 的大小；

(2)、若 $a = 3 \sqrt{3} ， c = 5$ ，求三角形ABC的面积和b的值．

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18. 某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计，其中120分(含120分)以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：

(1)、根据以上两个直方图完成下面的 $2 \times 2$ 列联表：
成绩
性别
优秀
不优秀
合计
男生
女生
总计

(2)、根据(1)中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系?
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

(3)、若从成绩在[130，140]的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是平行四边形， $A D = B D = \frac{\sqrt{2}}{2} A B = 2$ ，平面 $P A D ⊥$ 底面ABCD，且 $P A = P D = \sqrt{2}$ ， E，F分别为PC，BD的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面PAD；

(2)、求二面角 $B - P A - D$ 的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴一个端点到右焦点F的距离为2．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线 $l ： y = x + m$ 与椭圆C相交于A，B不同两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} > 1$ （O为坐标原点），求m的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = l n x + c x + \frac{a + 1}{x} + 3 (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，若关于x的不等式 $f (x) \geq m^{2} - 5 m$ 恒成立，求实数m的取值范围．

(2)、当 $a \geq - \frac{1}{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 $C_{1}$ ： $ρ + 2 c o s θ = 0$ ，曲线 $C_{2}$ ： ${\begin{array}{l} x = 5 + \sqrt{3} t ， \\ y = \sqrt{3} + t ， \end{array}$ （ $t$ 为参数）.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知 $P ， Q$ 分别为曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 上的动点，求 $| P Q |$ 的最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | - | x - 3 |$ .

(1)、不等式 $f (x) \leq 2$ 的解集 $M$ ，求 $M$ .

(2)、若关于 $x$ 的方程 $k^{2} - 4 k - 3 f (x) = 0$ 有实数根，求实数 $k$ 的的取值范围.

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$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828
$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001

成绩性别	优秀	不优秀	合计
男生
女生
总计