广东省东莞市七校2020-2021学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. $(2 + i) (3 - 6 i) =$ （）

A、 $12 + 9 i$ B、 $12 - 9 i$ C、 $- 12 + 9 i$ D、 $- 12 - 9 i$

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2. 设 $ξ$ 是一个离散型随机变量，其分布列为下表，则 $q =$ （）．
$ξ$
-1
0
1
$P$
$\frac{1}{4}$
$2 q - 1$
$q$

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{7}{12}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 已知复数 $z_{1} = 2 + 3 i ， z_{2} = t + i$ ，且 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是实数，则实数 $t =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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4. 导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 由0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位偶数共有（）个.

A、20 B、32 C、40 D、52

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6. 如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ， B ， C ， D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）

A、72种 B、48种 C、24种 D、12种

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7. 函数 $y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ 的导数是（）

A、 $\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ B、 $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ C、 $e^{x} - e^{- x}$ D、 $e^{x} + e^{- x}$

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8. 已知定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，当 $x \in (2 ， + \infty)$ 时， $f^{'} (x) < 0$ ，当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ，且 $f (3) = 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $(x - 1) f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3 ， 3)$ B、 $(- 3 ， 0) ∪ (0 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 0) ∪ (1 ， 3)$ D、 $(- \infty ， - 3) ∪ (0 ， 3)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、任意两个复数都不能比大小. B、若 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ，则当且仅当 $a = b = 0$ 时， $z = 0$ . C、若 $z_{1} ， z_{2} \in C$ ，且 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ . D、若复数 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则 $z^{1} + z^{2} + z^{3} + … + z^{2021} = - 1$ .

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10. $A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F$ 六个人并排站在一起，则下列说法正确的有（）

A、若 $A 、 B$ 两人相邻，则有120种不同的排法. B、若 $A 、 B$ 不相邻，则共有480种不同的排法. C、若 $A$ 在 $B$ 左边，则有360种不同的排法. D、若 $A$ 不站在最左边， $B$ 不站最右边，则有504种不同的排法.

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11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）

A、由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想： $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ B、由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： $C_{n + 1}^{r} = C_{n}^{r - 1} + C_{n}^{r}$ C、由“第 $n$ 行所有数之和为 $2^{n}$ ”猜想： $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ⋯ + C_{n}^{n} = 2^{n}$ D、由“ $1 1^{1} = 11$ ， $1 1^{2} = 121$ ， $1 1^{3} = 1331$ ”猜想 $1 1^{5} = 15101051$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ， $g (x) = x^{2} + 2 x$ ，以下结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、当 $a > 0$ 时， $y = a f (x + 1)$ 与 $y = g (x)$ 有相同的单调性 C、当 $a > 0$ 时，若 $y = a f (x + 1)$ 与 $y = g (x)$ 的图象有交点，那么交点的个数是偶数 D、若 $y = a f (x + 1)$ 与 $y = g (x)$ 的图象只有一个公共点，则 $a = - \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 若 $C_{n}^{4} = C_{n}^{5}$ ，则 $C_{n}^{7} =$ .(用数字作答)

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14. 一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为 $s = \frac{1}{3} t^{3} - t$ (单位 $m$ )，那么这个质点在2秒末的瞬时速度是 $(m / s)$ .

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15. 设复数z满足 $| z | = 1$ ，则 $| z - 2 - 2 i |$ 的最大值为.

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16. 如图，将边长为2的正六边形铁皮的六个角各剪去一个全等四边形，再折起做一个无盖正六棱柱容器，其容积最大时，底面边长为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} - m) + (m - 1) i (m \in R)$ .

(1)、若 $z$ 为实数，求 $m$ 值；

(2)、若 $z$ 为纯虚数，求 $m$ 值；

(3)、若复数 $z$ 对应的点在第一象限，求 $m$ 的范围.

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18. 已知 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 在 $x = 1$ 与 $x = - \frac{1}{3}$ 时取得极值.

(1)、求a，b的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上的最大值与最小值.

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19. 在含有3件次品的8件产品中，任取3件，求：

(1)、取到的次品数的分布列：

(2)、至少取到1件次品的概率.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 x - \frac{1}{x} - a l n x$ .

(1)、已知 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = x$ ，求实数a的值；

(2)、已知 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上是增函数，求实数a的取值范围.

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21. 已知多项式 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5.

(1)、求n的值；

(2)、求 $(2 x + 1) {(\sqrt{x} - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{2} a x^{2} - (a + 1) x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处有极大值，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 的极大值为 $M$ ， $f (x)$ 的极小值为 $N$ ，当 $\frac{1}{2} ⩽ a ⩽ 2$ 时，求 $| M - N |$ 的取值范围.

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$ξ$	-1	0	1
$P$	$\frac{1}{4}$	$2 q - 1$	$q$