福建省南平市浦城县2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是（）

A、N $\subseteq$ M B、M∪N=M C、M∩N=N D、M∩N={2}

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2. 设a=0.6^0.6 ， b=0.6^1.5 ， c=1.5^0.6 ，则a，b，c的大小关系是（　　）

A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、b＜a＜c D、b＜c＜a

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3. 已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + m$ ，则 $f (- 2)$ 等于（）

A、3 B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、-3

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4. 在某县2021年3月份的高二月考质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布 $X \sim N (90 ， 100)$ ，且 $P (80 \leq X \leq 100) \approx 0.683$ ， $P (70 \leq X \leq 110) \approx 0.954$ ，已知参加本次考试的学生有1990人，陈丹同学在这次考试中数学成绩为110分，则她的数学成绩在该县的排名大约是（）

A、46 B、58 C、69 D、73

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5. 有5位同学报名参加叁个活动小组，每人限报一个小组且每个小组都有人参加，则不同的报名方法共有（）

A、99种 B、106种 C、132种 D、150种

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6. 已知函数 $f (x) = x - c o s x$ 则函数 $f (x)$ 的导函数为（）

A、 $1 - c o s x$ B、 $1 + s i n x$ C、 $1 - s i n x$ D、 $1 + c o s x$

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7. 函数 $f (x)$ 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线 $y = e^{x}$ 关于 $y$ 轴对称，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = e^{x + 1}$ B、 $f (x) = e^{x - 1}$ C、 $f (x) = e^{- x + 1}$ D、 $f (x) = e^{- x - 1}$

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8. 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{x + 2} = a | x |$ 有三个不同的实数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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9. 给出下列四个命题，正确的有：（）

A、若 $p \lor q$ 为真命题，则 $p \land q$ 为假命题 B、命题“ $\forall x > 0$ ，有 $e^{x} \geq 1$ ”的否定为“ $\exists x_{0} \leq 0$ ，有 $e^{x_{0}} < 1$ ” C、 $x \geq - 1$ 的必要不充分条件是 $x > - 1$ D、在锐角 $△ A B C$ 中，必有 $s i n A + s i n B > c o s A + c o s B$

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二、多选题

10. 已知随机变量 $X$ 满足 $E (2 X + 3) = 7$ ， $D (2 X + 3) = 16$ ，则下列选项错误的是（）

A、 $E (X) = \frac{7}{2}$ ， $D (X) = \frac{13}{2}$ B、 $E (X) = 2$ ， $D (X) = 4$ C、 $E (X) = 2$ ， $D (X) = 8$ D、 $E (X) = \frac{7}{4}$ ， $D (X) = 8$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 7$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，下列命题中真命题的为（）

A、 $f (x)$ 的单调减区间是 $(\frac{2}{3} ， 2)$ B、 $f (x)$ 的极小值是-15 C、函数 $f (x)$ 有两个零点 D、当 $a > 2$ 时，对任意的 $x > 2$ 且 $x \neq a$ ，恒有 $f (x) > f (a) + f^{'} (a) (x - a)$

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12. 设函数 $f (x) = x l n x$ ， $g (x) = \frac{f^{'} (x)}{x}$ ，则下列说法正确的有（）

A、不等式 $g (x) > 0$ 的解集为 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ ； B、函数 $g (x)$ 在 $(0 ， e)$ 单调递增，在 $(e ， + \infty)$ 单调递减； C、当 $x \in [\frac{1}{e} ， 1]$ 时，总有 $f (x) < g (x)$ 恒成立； D、若函数 $F (x) = f (x) - a x^{2}$ 有两个极值点，则实数 $a \in (0 ， 1)$ .

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三、填空题

13. 若多项式 $(1 + x)^{16} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{16} x^{16}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{16} =$ .

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14. 已知角 $α = 2 k π - \frac{π}{5} (k \in Z)$ ，若角 $θ$ 与角 $α$ 的终边相同，则 $y = \frac{s i n θ}{| s i n θ |} + \frac{c o s θ}{| c o s θ |} + \frac{t a n θ}{| t a n θ |}$ 的值为.

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15. 当 $x \in (- \infty ， - 1]$ 时，不等式 $(m^{2} + m) \cdot 2^{x} - 6^{x} > 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (1 - 2 a) x + 3 a ， x < 1 \\ 2^{x - 1} ， x ⩾ 1 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $p ： x^{2} - 7 x + 10 < 0$ ， $q ： x^{2} - 3 m x + 2 m^{2} < 0$ ，其中 $m > 0$ .

(1)、若 $m = 3$ ，且 $p \land q$ 为真，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x)$ 对一切 $x$ ， $y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并给与证明；

(2)、若 $f (- 3) = a$ ，试用 $a$ 表示 $f (15)$ .

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $c o s 2 C = - \frac{3}{4}$ .

(1)、求 $t a n C$ ；

(2)、当 $s i n C = 2 s i n A$ ，且 $b = 3 \sqrt{7}$ 时，求 $a$ .

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20. 已知 $f (x) = l g x - a x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若 $G (x) = f (x) + 2 x$ 在定义域内单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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21. 为迎接建党一百周年，在全县中小学校开展“恰是百年风华，爱我山河美景”竞赛考试活动，进一步激发学生的爱国热情.某中学于2021年3月份对全校学生进行了“建党一百周年”国防教育知识竞赛考试，并随机抽取了100名学生的成绩进行了统计，其中男女生各占一半，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分（满分100分）及以上者为成绩优秀，否则为成绩不优秀.
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k)$
…
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k
…
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

(1)、求图中a的值；

(2)、根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有95%的把握认为“成绩优秀”与性别有关？

成绩优秀
成绩不优秀
合计
男
17
女
50
合计

(3)、将频率视为概率，从本次考试的全县所有学生中，随机抽取4人去其他学校进行爱国励志演讲宣传，记抽取的4人中成绩优秀的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = (1 - x) l n x + 1$ ， $x \in [1 ， + \infty)$ .

(1)、写出函数 $f (x)$ 在 $x \in [1 ， + \infty)$ 的零点个数，并证明；

(2)、当 $x \geq 1$ 时，函数 $g (x) = a e^{x} - x l n x$ 有零点，记 $a$ 的最大值为 $t$ ，证明： $\frac{2 l n 2}{e^{2}} < t < \frac{2}{e^{2}}$ .

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$P (K^{2} \geq k)$	…	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
k	…	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	成绩优秀	成绩不优秀	合计
男	17
女			50
合计