福建省福州市八县（市）协作校2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 公园有1个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为（）

A、16 B、13 C、12 D、10

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2. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x + \frac{3}{x})}^{'} = 1 + \frac{3}{x^{2}}$ B、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ C、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x}$ D、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$

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3. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（）

A、2 B、9 C、72 D、36

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5. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{5}{12}$

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6. 已知 ${(x - 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ 则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7} =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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7. 已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{2}{9}$

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8. 点P是曲线x²﹣y﹣2ln $\sqrt{x}$ =0上任意一点，则点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (1-ln2) B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ( $\frac{1}{2}$ +ln2) C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (1+ln2) D、 $\frac{1}{2}$ (1+ln2)

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二、多选题

9. 下面是关于复数 $z = 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位）的四个命题，其中正确命题的是（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、 $z$ 对应的点在第一象限 C、 $z$ 的虚部为 $i$ D、 $z$ 的共轭复数为 $- 1 + i$

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10. 已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列判断正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- 3 ， - \frac{1}{2})$ 内单调递增 B、当 $x = - 2$ 时，函数 $y = f (x)$ 取得极小值 C、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 2)$ 内单调递增 D、当 $x = 3$ 时，函数 $y = f (x)$ 有极小值

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11. 已知二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是 $2 ： 5$ ，则下列说法正确的是（）

A、所有项的系数之和为1 B、所有项的系数之和为-1 C、含 $x^{3}$ 的项的系数为240 D、含 $x^{3}$ 的项的系数为-240

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12. 设X～N(μ₁ ， $σ_{1}^{2}$ )，Y～N(μ₂ ， $σ_{2}^{2}$ )，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（）

A、P(Y≥μ₂)≥P(Y≥μ₁) B、P(X≤σ₂)≤P(X≤σ₁) C、对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t) D、对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)

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三、填空题

13. 已知随机变量 $ξ$ 服从二项分布， $ξ ~ B (6 ， \frac{1}{2})$ ，则 $E (2 ξ + 3) =$ ， $D (2 ξ + 3) =$ .

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14. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$ 的极大值为.

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15. 《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率．

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16. 已知函数 $f (x) = (k x - 2) e^{x} - x (x > 0)$ ，若 $f (x) < 0$ 的解集为 $(s ， t)$ ，且 $(s ， t)$ 中恰有两个整数，则实数 $k$ 的取值范围为.

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四、解答题

17.

(1)、计算 $\frac{(- 1 + i) (2 + i)}{1 + i}$ ；

(2)、在复数范围内解关于x的方程： $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ ．

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18. 已知二项式 ${(x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中第五项为常数项.

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中有理项的系数和.

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19. 男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)、男运动员3名，女运动员2名；

(2)、队长中至少有1人参加；

(3)、既要有队长，又要有女运动员.

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20. 已知 $x = 1$ 是 $f (x)=2 x + \frac{b}{x} + \ln x$ 的一个极值点.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - \frac{3 + a}{x}$ ，若函数 $g (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 内单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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21. 为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地.

(1)、求这4个人中恰有2人去甲地的概率；

(2)、求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；

(3)、用 $X ， Y$ 分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记 $ξ = | X - Y |$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列与数学期望 $E (ξ)$ .

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22. 《福建省高考改革试点方案》规定：从2018年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2021年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%、2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到 $[86 ， 100] ， [71 ， 85] ， [56 ， 70] ， [41 ， 55] ， [30 ， 40]$ 五个分数区间，得到考生的等级成绩．某市高一学生共6000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩 $ξ$ 大致服从正态分布 $N (70 ， 169)$ ．
（附：若随机变量 $ξ ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.683$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.954$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.997$ ）

(1)、求该市化学原始成绩在区间 $(57 ， 96)$ 的人数；

(2)、以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间 $[56 ， 85]$ 的人数，求 $P (X ≥ 2)$

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