北京市延庆区2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 0}$ ， $B = {x \in Z | - 1 < x < 3}$ ，那么 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${x | 0 < x < 3}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 若 $C_{12}^{2 x + 1} = C_{12}^{x + 2}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、1 B、3 C、1或3 D、0

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3. 一部影片在5个单位轮流放映，每个单位放映一场，则不同的放映次序种数是（）

A、24 B、32 C、60 D、120

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4. 在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中第4项的二项式系数是（）

A、20 B、160 C、-20 D、-160

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5. 已知复数 $z = i (2 + i)$ （i是虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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6. 从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）

A、20 B、55 C、30 D、25

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 1 - 4 + 7 - 10 + 13 - 16 + ⋯ + {(- 1)}^{n - 1} (3 n - 2)$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、46 B、-46 C、16 D、-16

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8. 随机变量 $X$ 服从二项分布 $X ∼ B (n ， p)$ ，且 $E (X) = 400$ ， $D (X) = 300$ ，则 $p$ 等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 设 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为抛物线上一点．若 $| P F | = 5$ ，则 $△ O P F$ 的面积为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、填空题

10. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $a_{4} = S_{4} = 4$ ，则 $a_{2} =$ ．

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11. 在 ${(3 + x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为．（用数字作答）

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的离心率是 $\sqrt{3}$ ，则双曲线的右焦点坐标为．

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 4 e ， x \leq 0 ， \\ x + \frac{1}{x} ， x > 0 . \end{array}$ 若存在 $x_{1} \leq 0$ ， $x_{2} > 0$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} f (x_{2})$ 的取值范围是．

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14. 离散型随机变量 $ξ$ 的分布列为：
$ξ$
1
2
3
$p$
$p_{1}$
$\frac{1}{3}$
$p_{2}$
且 $E (ξ) = 2$ ，则 $p_{1} =$ ； $p_{2} =$ ．

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三、解答题

15. 已知函数 $f (x) = a s i n 2 x + 2 c o s^{2} x + 1$ ，从条件①、②这两个条件中选择一个作为已知，条件①： $f (\frac{π}{4}) = 3$ ；条件②： $f (x)$ 的对称中心 $(- \frac{π}{8} ， 2)$ ．求：
（Ⅰ） $f (x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ） $f (x)$ 的单调递增区间．

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长为2， $E$ ， $F$ 分别是 $B B_{1}$ ， $D C_{1}$ 的中点．
（Ⅰ）求证： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；
（Ⅱ）求直线 $D C_{1}$ 与平面 $E A D$ 所成角的正弦值．

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17. 某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展种茶业．该县农科所为了对比 $A$ ， $B$ 两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了 $A$ ， $B$ 两种茶叶各10亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：
A ： 48.1，49.2，51.2，52.7，53.3，54.2，55.3，56.4，57.6，60.6；
B ：48.9，50.1，51.5，52.5，52.6，53.4，54.9，55.6，56.7，58.7；

(1)、从 $A$ ， $B$ 两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于55的概率；

(2)、从 $B$ 品种茶叶的亩产数据中任取2个，记这2个数据中不低于55的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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18. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 $\frac{1}{3}$ 与 $p$ ，且乙投球 $2$ 次均命中的概率为 $\frac{1}{16}$ ．

(1)、求甲投球2次，命中1次的概率；

(2)、若乙投球3次，设命中的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列．

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19. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过 $A (0 ， 2)$ 点，且 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $M$ 的方程；
（Ⅱ）若过 $B (- 3 ， - 1)$ 的直线 $A B$ 与 $x$ 轴交于点 $E (m ， 0)$ ，过点 $E$ 作直线 $l$ ， $l$ 不垂直于坐标轴且与 $A B$ 不重合， $l$ 与椭圆 $M$ 交于 $C$ ， $D$ 两点，直线 $A C$ ， $B D$ 分别交直线 $x = m$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，求证： $| O P | = | O Q |$ ．

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20. 数列 ${a_{n}}$ 中，给定正整数 $k (k > 1)$ ， $V (k) = \sum_{i = 1}^{k - 1} | a_{i + 1} - a i |$ ．定义：数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{i + 1} \leq a {}_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ⋯ ， k - 1)$ ，称数列 ${a_{n}}$ 的前 $k$ 项单调不增．

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 通项公式为： $a_{n} = \frac{1}{n}$ ， $(n \in N^{*})$ ，求 $V (5)$ ；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a$ ， $a_{m} = b$ ， $(m > 1 ， m \in N^{*} ， a > b)$ ，求证： $V (m) = a - b$ 的充分必要条件是数列 ${a_{n}}$ 的前 $m$ 项单调不增；

(3)、给定正整数 $m (m > 1)$ ，若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} \geq 0$ ， $(n = 1 ， 2 ， ⋯ ⋯ ， m)$ ，且数列 ${a_{n}}$ 的前 $m$ 项和为 $m^{2}$ ，求 $V (m)$ 的最大值与最小值．

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$ξ$	1	2	3
$p$	$p_{1}$	$\frac{1}{3}$	$p_{2}$