北京市海淀区2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，公差 $d = 1$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、9 B、10 C、11 D、12

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2. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n} .$ 若 $q = 2 ， S_{2} = 6$ ，则 $S_{3} =$ （）

A、8 B、12 C、14 D、16

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3. 函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ 的导函数 $f^{'} (x) =$ （）

A、 $\frac{(x - 1) e^{x}}{x^{2}}$ B、 $\frac{(x - 1) e^{x}}{x}$ C、 $\frac{(1 - x) e^{x}}{x^{2}}$ D、 $\frac{(x + 1) e^{x}}{x^{2}}$

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4. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的极小值点的集合为（）

A、 ${x_{1} ， x_{2} ， x_{3}}$ B、 ${x_{1} ， x_{3}}$ C、 ${x_{1} ， x_{2} ， x_{4}}$ D、 ${x_{3}}$

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5. 已知函数 $f (x) = a x - l n x .$ 若对于任意 $x_{1} > x_{2} > 0 ，$ 都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的范围是（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0]$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(- \infty ， 1]$

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6. 科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量 $Q$ 可以近似看作时间 $t$ 的函数，记作 $Q (t)$ ，其瞬时变化率 $Q^{'} (t)$ 和 $Q (t)$ 的关系为 $Q^{'} (t) = k Q (t)$ ，其中 $k$ 为常数．在下列选项所给函数中， $Q (t)$ 可能是（）

A、 $Q (t) = e^{- 0.2 t}$ B、 $Q (t) = 0.2 sin t$ C、 $Q (t) = 2 ln (t + 2)$ D、 $Q (t) = 6 {(t + 1)}^{- 1}$

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7. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + a$ 有唯一零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 ${- 2 ， 2}$ B、{2} C、 ${a ∣ - 2 < a < 2}$ D、 ${a ∣ a < - 2$ 或 $a > 2}$

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8. 一个小球作简谐振动，其运动方程为 $x (t) = 10 s i n (π t - \frac{π}{3})$ ，其中 $x (t)$ (单位： $c m)$ 是小球相对于平衡点的位移， $t$ (单位： $s$ )为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时， $t =$ （）

A、1 B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 32 ， q = - \frac{1}{2}$ ，记 $T_{n} = a_{1} a_{2} ⋯ a_{n} (n \in N_{+})$ ，则数列 ${T_{n}}$ （）

A、有最大项，有最小项 B、有最大项，无最小项 C、无最大项，有最小项 D、无最大项，无最小项

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10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} + a_{4} = l n a_{3} .$ 若 $a_{1} > 1$ ，则（）

A、 $a_{3} > 1 ， a_{2} < a_{4}$ B、 $a_{3} < 1 ， a_{2} < a_{4}$ C、 $a_{3} > 1 ， a_{2} > a_{4}$ D、 $a_{3} < 1 ， a_{2} > a_{4}$

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二、填空题

11. 函数 $y = c o s x$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为．

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} =$ ．

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13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} > 0 .$ 能说明“若 $a_{3} > a_{1}$ ，则 $a_{4} > a_{2}$ ”为假命题的数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ． (写出一个即可)

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14. 物体的温度 $(^{∘} C)$ 在恒定温度 $(^{∘} C)$ 环境中的变化模型为： $T_{n + 1} = T_{n} - 0.0081 (T_{n} - T)$ ，其中 $T$ 表示物体所处环境的温度， $T_{0}$ 是物体的初始温度， $T_{n}$ 是经过 $n$ 小时后物体的温度，且 $T_{0} > T .$ 现将与室温相同的食材放进冰箱的冷冻室，如果用以上模型来估算放入冰箱食材的温度变化情况，则食材的温度在单位时间下降的幅度(填写正确选项的序号)．
①越来越大；②越来越小；③恒定不变．

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3^{n} + r$ ，则 $a_{2} =$ ， $r =$ ．

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三、解答题

16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{4} = - 4 ， S_{3} = - 24 .$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} |}$ 的前20项和 $T_{20}$ ；

(3)、在数列 ${a_{n}}$ 中是否存在不同的两项，使得它们的等比中项中至少有一个仍是该数列中的项？若存在，请写出这两项的值(写出一组即可)；若不存在，请说明理由．

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17. 已知函数 $f (x) = l n x - a \sqrt{x} (a \in R) .$

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数的单调区间；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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18. 易拉罐用料最省问题的研究．小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个．这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖､下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究．以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．

以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．模型假设：

(1)、建立模型

记圆柱体积为 $V$ ，高为 $h$ ，底面半径为 $r$ ，上盖､下底和侧壁的厚度分别为 $d_{1} ， d_{2} ， d_{3}$ ，

金属用料总量为C．

由几何知识得到如下数量关系：

$V = π r^{2} h$ ①

$C = π r^{2} d_{1} + π r^{2} d_{2} + 2 π r h d_{3}$ ②

由①得 $h = \frac{V}{π r^{2}}$ ，代入②整理得： $C = π (d_{1} + d_{2}) r^{2} + \frac{2 V d_{3}}{r}$ ．

因为 $V ， d_{1} ， d_{2} ， d_{3}$ 都是常数，不妨设 $a = π (d_{1} + d_{2}) ， b = 2 V d_{3}$ ，

则用料总量的函数简化为 $C = a r^{2} + \frac{b}{r}$ ．

请写出表格中代入整理这一步的目的是：．

(2)、求解模型：

所以，在 $r =$ (用 $a ， b$ 表示)时， $C$ 取得最小值，即在此种情况下用料最省．

(3)、检验模型：

小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知 $d_{1} = 0.028 (c m) ， d_{2} = 0.021$ $(c m) ， d_{3} = 0.011 (c m)$ ，代入（3）的模型结果，经计算得 $r \approx 2.868 (c m) .$ 经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径 $3.305 c m$ 差异较大．实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优．

模型评价与改进：

模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：．

相应改进措施为：．

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19. 集合 $S = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}} (a_{i} \in N^{*}, i = 1, 2 \dots, n)$ ，集合 $T = {b_{i j} | b_{i j} = a_{i} + a_{j}, 1 \leq i < j \leq n}$ ，若集合 $T$ 中元素个数为 $\frac{n (n - 1)}{2}$ ，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合 $S$ 为“好集合”.

(1)、判断集合 $S_{1} = {1, 2, 3}$ 、 $S_{2} = {1, 2, 3, 4}$ 是否为“好集合”；

(2)、若集合 $S_{3} = {1, 3, 5, m} (m > 5)$ 是“好集合”，求 $m$ 的值；

(3)、“好集合” $S$ 的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

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