安徽省宣城六校2020-2021学年高二下学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B = {\frac{1}{4} ， \frac{1}{2} ， 1 ， 2 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， 1 ， 2}$

查看试题解析
2. 设 $i$ 为虚数单位，复数 $z = {(1 - \sqrt{3} i)}^{2}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 是（）

A、 $2 + 2 \sqrt{3} i$ B、 $- 2 + 2 \sqrt{3} i$ C、 $- 2 - 2 \sqrt{3} i$ D、 $2 - 2 \sqrt{3} i$

查看试题解析
3. 给出下列命题：“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等，③正方形是矩形”，按照三段论证明，正确的是（）

A、①② $\Rightarrow$ ③ B、①③ $\Rightarrow$ ② C、②③ $\Rightarrow$ ① D、以上都不对

查看试题解析
4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x ⩽ 0 \\ lg x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (- 1) + f (1) =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、0

查看试题解析
5. 欲证 $\sqrt{13} - \sqrt{15} < \sqrt{17} - \sqrt{19}$ 成立，只需证（）

A、 $(\sqrt{13} - \sqrt{15})^{2} < (\sqrt{17} - \sqrt{19})^{2}$ B、 $(\sqrt{13} + \sqrt{19})^{2} < (\sqrt{15} + \sqrt{17})^{2}$ C、 $(\sqrt{13} + \sqrt{15})^{2} > (\sqrt{17} + \sqrt{19})^{2}$ D、 $(\sqrt{13} - \sqrt{17})^{2} < (\sqrt{15} - \sqrt{19})^{2}$

查看试题解析
6. 观察下列各式 $： 3^{1} = 3 ， 3^{2} = 9 ， 3^{3} = 27 ， ⋯$ ，则 $3^{2021}$ 的末位数字为（）

A、1 B、3 C、7 D、9

查看试题解析
7. 已知单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ ，且 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $k =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、4

查看试题解析
8. 干支历，又称农历､星辰历､甲子历等，是一种用60组各不相同的天干地支标记年月日时的古老历法，干支历法历史悠久，蕴含了深奥的宇宙星象密码，具体算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2015年5为乙；再用2015年除以12余数为11，11为未，所以2015年就是乙未年．
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸

4
5
6
7
8
9
0
1
2
3

地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
西
戊
亥

4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
张伟是2002年(壬午年)出生，他的妈妈比他大26岁，则张伟妈妈出生的年份是（）

A、乙卯年 B、丙辰年 C、丁已年 D、成午年

查看试题解析
9. 设 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{3} = 4$ ， $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 6$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{6}} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{19}{10}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{19}{6}$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x - 6 c o s^{2} ω x + a (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，最大值为 $2 \sqrt{3}$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $\sqrt{3} s i n (4 x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} s i n (4 x - \frac{π}{3})$ C、 $2 \sqrt{3} s i n (4 x + \frac{π}{6})$ D、 $\sqrt{3} s i n (4 x + \frac{π}{6}) + \sqrt{3}$

查看试题解析
11. 在平面直角坐标系中，已知直线 $l_{1} ： A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ ， $l_{2} ： A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ .类比可得在空间直角坐标系中，平面 $a x + 2 y + 2 z - 4 = 0$ 与平面 $3 x + 5 y + a z + 1 = 0$ 垂直，则实数 $a$ 的值为（）

A、-2 B、 $- \frac{10}{3}$ C、 $- \frac{6}{5}$ D、-5

查看试题解析
12. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 13 = 0$ 的圆心到直线 $k x + y - 1 = 0 (k \in Z)$ 的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，若 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} = k$ ，且 $a ， b > 0$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2} + 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$

查看试题解析

二、填空题

13. 2021年全国两会期间，有全国人大代表建议为缩小贫富差距可考虑开征遗产税等措施．某机构为了解各地群众对开征遗产税的认同程度，计划从12000人中分层抽取600人进行问卷调查，其中不到35岁的有3000人，35岁至49岁的有4000人，其余年龄都是50岁及50岁以上，则应从50岁及50岁以上的群众中抽取．

查看试题解析
14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y ⩾ - 1 \\ x - y ⩾ - 1 \\ 2 x - y ⩽ 1 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值是．

查看试题解析
15. 如果执行如图所示的程序框图，输出的数 $S = \frac{199}{200}$ ，则输入的 $n$ 的值．

查看试题解析
16. 数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？"现将1到1000共1000个整数中同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 中共有项．

查看试题解析

三、解答题

17. 已知复数 $z = a^{2} + 3 a - 4 + (a^{2} - a) i$ （其中 $a \in R$ ）.

(1)、若复数 $z$ 为实数，求 $a$ 的值；

(2)、若复数 $z$ 为纯虚数，求 $a$ 的值.

查看试题解析
18. 随着十年禁捕政策出台，“江烟淡淡雨疏疏，老翁破浪行捕鱼”的画面即将从长江流域消失，而我国生态保护事业中的历史性一幕也就此开启-2021年1月1日起，长江干流，岷江､沱江､赤水河､嘉陵江､乌江､汉江､大渡河等重要支流，以及鄱阳湖､洞庭湖等通江湖泊将实现全面彻底禁捕，在渔民安置中，某地政府带动退捕渔民发展畜禽水产养殖加工产业，工作小组根据市场前景重点考察了A，B两种景观鱼苗，为对比两种鱼苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种鱼苗A，B各500尾，试验发现有80%的鱼苗成活，未成活的鱼苗A，B尾数之比为 $1 ： 3$ ．完成 $2 \times 2$ 列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为鱼苗A，B的成活率有差异？

A
B
合计
成活尾数
未成活尾数
合计
500
500
1000
$K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} (n = a + b + c + d)$
$P (K^{2} ⩾ k_{0})$
$0.05$
$0.010$
$0.005$
$0.001$
$k_{0}$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

查看试题解析
19. 若 $a ， b ， c \in R$ ，求证：一元二次方程 $x^{2} + a x + b - 1 = 0 ， x^{2} + b x + c - 1 = 0$ 和 $x^{2} + c x + a - 1 = 0$ 中至少有一个方程有实根．

查看试题解析
20. 在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边， $a = 3$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ， $c o s B = - \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $c$ ；

(2)、求 $c o s (A - \frac{π}{3})$ 的值.

查看试题解析
21. 如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D = 2 A D = 2$ ，将 $△ A D C$ 沿着 $A C$ 翻折，使得点D到点P，且 $A P ⊥ B C$ .

(1)、求证：平面 $A P C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求点C到平面 $A P B$ 的距离.

查看试题解析
22. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 $30 m i n$ 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位： $c m$ ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得 $\bar{x} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1} x_{i} = 9.97$ ， $s = \sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{16} (\sum_{i = 1} {x_{i}}^{2} - 16 {\bar{x}}^{2})} \approx 0.212$ ，
$\sqrt{\sum_{i = 1} {(i - 8.5)}^{2}} \approx 18.439 ， \sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (i - 8.5) = - 2.78$ ，其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸， $i = 1 ， 2 ， . . . ， 16$ ．
附：样本 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， . . . ， n)$ 的相关系数
$\hat{r} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sqrt{0.008} \approx 0.09$ ．

(1)、求 $(x_{i} ， i) (i = 1 ， 2 ， . . . ， 16)$ 的相关系数 $r$ ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 $| r | < 0.25$ ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

(2)、一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\bar{x} - 3 s ， \bar{x} + 3 s)$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在 $(\bar{x} - 3 s ， \bar{x} + 3 s)$ 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到 $0.01$ ）

查看试题解析

天干	甲	乙	丙	丁	戊	己	庚	辛	壬	癸
	4	5	6	7	8	9	0	1	2	3
地支	子	丑	寅	卯	辰	巳	午	未	申	西	戊	亥
	4	5	6	7	8	9	10	11	12	1	2	3

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	$0.05$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k_{0}$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8
零件尺寸	9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
抽取次序	9	10	11	12	13	14	15	16
零件尺寸	10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

	A	B	合计
成活尾数
未成活尾数
合计	500	500	1000