安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $\frac{2 - b i}{1 + 2 i} (b \in R)$ 的实部与虚部互为相反数，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、2

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2. 用反证法证明命题：“已知 $a$ ､ $b$ 是自然数，若 $a + b \geq 4$ ，则 $a$ ､ $b$ 中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（）

A、 $a$ ､ $b$ 中两个都不小于2 B、 $a$ ､ $b$ 中至少有一个小于2 C、 $a$ ､ $b$ 都小于2 D、 $a$ ､ $b$ 中至多有一个小于2

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3. 一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为 $s = \frac{1}{2} t^{2}$ ，则t=2时，此木块在水平方向的瞬时速度为（　　）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦• $B$ •曼德尔布罗特( $B e n o i t . M a n d e l b r o t$ )在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第13行的实心圆点的个数是（）

A、55个 B、89个 C、144个 D、233个

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5. 已知函数 $f (x) = e^{2 - x} + x$ ， $x \in [1 ， 3]$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小值为 $3 + \frac{1}{e}$ B、函数 $f (x)$ 的最大值为 $3 + \frac{1}{e}$ C、函数 $f (x)$ 的最小值为3 D、函数 $f (x)$ 的最大值为3

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6. 已知函数 $f (x) = 4 x - 3 l n | x |$ ，则 $f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列类比推理正确的序号为（）
①“边长为 $a$ 的正三角形内任一点到三边距离之和是定值 $\frac{\sqrt{3} a}{2}$ ”类比空间，“棱长为 $a$ 的正四面体内任一点到四个面的距离之和是定值 $\frac{\sqrt{6} a}{4}$ ”；②在平面上，若两个正三角形的边长比为 $1 ： 2$ ，则他们的面积比为 $1 ： 4$ .类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 $1 ： 2$ ，则他们的体积比为 $1 ： 8$ ；③已知椭圆具有性质：若 $M$ ， $N$ 是椭圆上 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 关于原点对称的两个点，点 $P$ 是椭圆上任意一点，则当 $P M$ ， $P N$ 的斜率都存在， $K_{P M} K_{P N} = - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ ，类似的，点 $P$ 若在双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上，则 $K_{P M} K_{P N} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ .④长宽分别为 $a$ ， $b$ 的矩形的外接圆的面积为 $\frac{π}{4} (a^{2} + b^{2})$ ，类比空间中，长宽高分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ 的长方体的外接球的面积为 $\frac{π}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ .

A、①③ B、②④ C、①④ D、②③

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8. 用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ⋯ + \frac{1}{3 n + 1} > \frac{25}{24} (n \in N^{*})$ 时，从“ $n = k$ 到 $n = k + 1$ ”左边需增加的代数式为（）

A、 $\frac{1}{3 k + 4}$ B、 $\frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 3} + \frac{1}{3 k + 4}$ C、 $\frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 4} - \frac{1}{3 k + 3}$ D、 $\frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 4} - \frac{2}{3 k + 3}$

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9. 设正三棱柱的体积为 $V$ ，当其表面积最小时，底面边长为（）

A、 $\sqrt{4 V}$ B、 $\sqrt[3]{8 V}$ C、 $\sqrt[3]{6 V}$ D、 $\sqrt[3]{4 V}$

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10. 若函数 $l$ 恰有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{e^{2}} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{4}{e^{2}})$ C、 $(0 ， 4 e^{2})$ D、 $(0 ， + \infty)$

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11. 设 $m$ 为整数，对于任意的正整数 $n$ ， $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) ⋯ (1 + \frac{1}{2^{n}}) < m$ ，则 $m$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) + f^{'} (x) > 1$ ， $f (0) = 2021$ ，则不等式 $e^{x} f (x) > e^{x} + 2020$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0) ∪ (2020 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(2020 ， + \infty)$ D、 $(0 ， + ∞)$

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二、填空题

13. 已知复数 $z$ 满足 $(\bar{z} + 2) i = 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的模为.

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14. 若点 $P$ 是曲线 $y = x^{2} - l n x$ 上任意一点，则点 $P$ 到直线 $y = x - 4$ 的最小距离为.

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15. 计算 $\int_{0}^{2} (\sqrt{4 - (x - 2)^{2}} - x) d x$ = ．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x - a x}{x}$ ，若有且仅有一个整数 $k$ ，使 ${[f (k)]}^{2} - f (k) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知e是自然对数的底数，函数 $f (x) = \frac{a x^{2}}{e^{x}}$ （ $a \in R$ ，且 $a \neq 0$ ）．
（Ⅰ）当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 的极大值为 $\frac{1}{e}$ ，求a的值．

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18.

(1)、已知 $a > 0$ ，证明： $\sqrt{a^{2} + \frac{1}{a^{2}}} \geq (a + \frac{1}{a}) - (2 - \sqrt{2})$ .

(2)、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 满足 $a c \geq 2 (b + d)$ ，用反证法证明：方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 与方程 $x^{2} + c x + d = 0$ 至少有一个方程有实根.

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19. 设函数 $y = f (x)$ 对任意实数x 、y都有 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y$ ，

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、若 $f (1) = 1$ ，求 $f (2)$ 、 $f (3)$ 、 $f (4)$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，猜想 $f (n)$ $(n \in N_{+})$ 的表达式，并用数学归纳法加以证明．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x^{2} - a x - 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在定义域内单调递增，求实数a的范围；

(2)、设函数 $g (x) = x f (x) - e^{x} + x^{3} + x$ ，若 $g (x)$ 至多有一个极值点，求a的取值集合．

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21. 如图，已知二次函数 $f (x) = 3 x^{2} - 3 x$ ，直线 $l_{1} ： x = 2$ ，直线 $l_{2} ： y = 3 t x$ （其中 $- 1 < t < 1$ ， $t$ 为常数）；若直线 $l_{2}$ 与函数 $f (x)$ 的图象以及直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与函数 $f (x)$ 的图象所围成的封闭图形如阴影所示.

(1)、求阴影面积 $s$ 关于 $t$ 的函数 $y = s (t)$ 的解析式；

(2)、若过点 $A (1 ， m)$ ， $m \neq 4$ 可作曲线 $y = s (t)$ ， $t \in R$ 的三条切线，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{(a + x)^{2}}{2}$ （ $a \in R$ ）.
（Ⅰ）若函数 $h (x) = f (x) - x - (a + 1) l n x$ ，讨论 $h (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 的导数 $f^{^{'}} (x)$ 的两个零点从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $f (x_{2}) < \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ .

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