安徽省芜湖市2020-2021学年高二下学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 空间中有平面 $α$ 和直线 $a$ ､ $b$ ，若 $a / / α$ ， $a ∥ b$ ，则下列命题必是假命题的是（）

A、 $b / / α$ B、 $b \subset α$ C、 $b ∩ α = P$ D、直线 $a$ 和 $b$ 共面

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2. “ $a > b$ ”是“ $l o g_{2} a > l o g_{2} b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，以F₁ ， F₂为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9}$ ＝1 B、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4}$ ＝1 C、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16}$ ＝1 D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3}$ ＝1

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4. 曲线 $y = x^{3} - 4 x$ 在点 $(1 ， - 3)$ 处的切线倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两焦点，P在椭圆上，当 $△ F_{1} P F_{2}$ 面积为1时， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、0

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6. 已知MN是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内切球的一条直径，则 $\vec{A M} ⋅ \vec{A N} =$ （）

A、－1 B、1 C、－2 D、2

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7. 如图所示阴影部分是由函数 $y = e^{x}$ 、 $y = \sin x$ 、 $x = 0$ 和 $x = \frac{π}{2}$ 围成的封闭图形，则其面积是（）

A、 $e^{\frac{π}{2}} + 2$ B、 $e^{\frac{π}{2}} - 2$ C、 $e^{\frac{π}{2}}$ D、 $2 - e^{\frac{π}{2}}$

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8. 以抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点为圆心， $\sqrt{5}$ 为半径的圆，与直线 $2 x + y + m = 0$ 相切，则 $m =$ （）

A、1或-9 B、-1或9 C、3或-7 D、-3或7

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线与圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 1$ 相切，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 及其导数 $f^{'} (x)$ ，若存在 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个“巧值点”.给出下列四个函数：① $f (x) = x^{2}$ ；② $f (x) = e^{- x}$ ；③ $f (x) = \ln x$ ；④ $f (x) = \tan x$ ，其中有“巧值点”的函数的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 棱长为1的正四面体 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是线段 $B C$ ， $A D$ 上的点，且满足 $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{A F} = \frac{1}{4} \vec{A D}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{C F} =$ （）

A、 $- \frac{13}{24}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{13}{24}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 4 ， x \geq 0 \\ - l n (1 - 3 x) ， x < 0 \end{array}$ ，若函数 $F (x) = f (x) - k x$ 有且只有两个零点，则k的取值范围为（）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $[2 ， 3)$ D、 ${2} \cup [3 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 设f(x)＝aex+blnx，且f′（1）＝e， $f' (2) = e^{2}$ ，则a+b＝．

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14. 如图所示，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $C C_{1} = 4$ ，点 $E$ 是线段 $C C_{1}$ 的中点，点 $F$ 是正方形 $A B C D$ 的中心，则直线 $A_{1} E$ 与直线 $B_{1} F$ 所成角的余弦值为

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15. 以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆，是指到两定点的距离之比为常数 $λ (λ > 0, λ \neq 1)$ 的动点M的轨迹，若已知 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，动点M满足 $\frac{| M A |}{| M B |} = \sqrt{2}$ ，此时阿波罗尼斯圆的方程为．

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16. 如图放置的边长为1的正方形 $P A B C$ 沿 $x$ 轴滚动，点 $B$ 恰好经过原点．设顶点 $P$ $(x ， y)$ 的轨迹方程式 $y = f (x)$ （ $x \in R$ ），则对函数 $y = f (x)$ 有下列判断：
①函数 $y = f (x)$ 是偶函数；
②对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x + 2) = f (x - 2)$ ；
③函数 $y = f (x)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上单调递减；
④ $\int_{0} f (x) d x = \frac{π + 1}{2}$ ．
其中判断正确的序号是．

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三、解答题

17. 已知 $\neg p ： \forall x \in [0 ， + \infty)$ ， $e^{x} - 1 > m$ ； $q$ ：函数 $y = x^{2} - 2 m x + 1$ 有两个零点.

(1)、写出命题 $p$ ；

(2)、若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数f（x）＝x³﹣ax²+bx+c（a，b，c∈R）．

(1)、若函数f（x）在x＝﹣1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；

(2)、在（1）的条件下，当x∈[﹣2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围．

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19. 设O为坐标原点，动点M在椭圆C $: \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 $\overset{⇀}{N P} = \sqrt{2} \overset{⇀}{N M}$ .

(1)、求点P的轨迹方程；

(2)、设点 $Q$ 在直线 $x = - 3$ 上，且 $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{P Q} = 1$ .证明：过点P且垂直于OQ的直线 $l$ 过C的左焦点F.

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $Q A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D / / Q A$ ， $P D = 2$ ， $Q A = A B = 1$ .

(1)、证明： $P Q ⊥$ 平面 $D C Q$ ；

(2)、求二面角 $Q - B P - C$ 的余弦值.

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21. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ： x^{2} + 4 y^{2} = 1$ ，抛物线 $E ： x^{2} = 2 y$ .设 $P$ 是 $E$ 上的动点，且位于第一象限， $E$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $C$ 交与不同的两点 $A$ ， $B$ ，线段 $A B$ 的中点为 $D$ ，直线 $O D$ 与过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交于点 $M$ .

(1)、求证：点 $M$ 在定直线上；

(2)、直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $G$ ，记 $△ P F G$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ P D M$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.

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