安徽省滁州市2020-2021学年高二下学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{1}{i} - i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、0 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

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2. 双曲线 $C ： x^{2} - 2 y^{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ B、 $x \pm 2 y = 0$ C、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ D、 $2 x \pm y = 0$

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3. 已知集合 $A = (0 ， + \infty)$ ， $B = {y | y = 2^{x} ， x \in A}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $[0 ， 1)$

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4. 如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（）

A、9种 B、8种 C、7种 D、6种

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5. 已知曲线 $f (x) = a l n x$ 在 $x = 2$ 处的切线与直线 $x - 2 y = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、0

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6. 二项式 ${(x^{2} - \frac{2}{x^{3}})}^{5}$ 展开式中的常数项为（）

A、40 B、20 C、-10 D、-30

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7. 已知点 $A$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的对称轴与准线的交点，点 $F$ 为该抛物线的焦点，抛物线上纵坐标为1的点P满足 $| P A | = m | P F |$ ，则 $m =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、1

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9. 在平面直角坐标系中，已知直线 $l_{1} ： A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ ， $l_{2} ： A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ .类比可得在空间直角坐标系中，平面 $a x + 2 y + 2 z - 4 = 0$ 与平面 $3 x + 5 y + a z + 1 = 0$ 垂直，则实数 $a$ 的值为（）

A、-2 B、 $- \frac{10}{3}$ C、 $- \frac{6}{5}$ D、-5

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10. 将函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $φ$ 个单位长度，所得图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小正值是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11. 已知 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + s i n (\frac{π}{2} + x)$ ， $f^{^{'}} (x)$ 为f（x）的导函数，则 $f^{^{'}} (x)$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知命题p：“关于x的方程 $x^{2} - 4 x + a = 0$ 有实根”，若非p为真命题的充分不必要条件为 $a > 3 m + 1$ ，则实数m的取值范围是（）

A、 ${m | m \geq 1}$ B、 ${m | m > 1}$ C、 ${m | m < 1}$ D、 ${m | m \leq 1}$

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二、填空题

13. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y - 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ 2 x - y \leq 4 \end{array}$ ，则 $3 x + 2 y$ 的最小值是.

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14. 在1，2，3，4，5这五个数字所组成的无重复数字的三位数中，其各位数字之和为8的三位数共有个.

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15. 已知圆 $M$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ ，过点 $P (0 ， 4)$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交的所有弦中，弦长最短的弦为 $A C$ ，弦长最长的弦为 $B D$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为.

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16. 将正偶数排成如图所示的螺旋状，第一个拐弯处的数是4，第二个拐弯处的数是6，第30个拐弯处的数是.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边， $c c o s \frac{A}{2} = a s i n C$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = \frac{5}{3} a^{2} = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价 $x$ （元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量 $y$ （件）	90	84	83	80	75	68

附：参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 4066$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 434.2$ .

(1)、求回归直线方程y

= \hat{b} x + \hat{a}

，并预测当单价为10元时的销量；

(2)、预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是5元/件，该产品的单价应定为多少元时，可使工厂获得最大利润?（利润=销售收入－成本）

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与直线 $x = - \sqrt{2} b$ 有且只有一个交点，点 $B_{1}$ 、 $F_{1}$ 分别为椭圆的上顶点和右焦点，且 $| B_{1} F_{1} | = 2$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过定点 $(- 1 ， - \sqrt{2})$ 且斜率存在的直线 $l$ （不经过点 $B_{1}$ ）与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点，求证：直线 $B_{1} M$ ， $B_{1} N$ 的斜率之和为定值.

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20. 如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D = 2 A D = 2$ ，将 $△ A D C$ 沿着 $A C$ 翻折，使得点 $D$ 到点 $P$ 处，且 $A P ⊥ B C$ .

(1)、求证：平面 $A P C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求二面角 $C - P A - B$ 的平面角的正弦值.

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21.

(1)、求证： $3^{2 n + 3} + 40 n - 27 (n \in N^{*})$ 能被64整除；

(2)、求 $C_{29}^{1} + C_{29}^{2} + C_{29}^{3} + \cdot \cdot \cdot + C_{29}^{29}$ 除以9的余数.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x - a$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 恰有一个零点，求实数 $a$ 的值；

(2)、确定实数 $a$ 的取值范围，使得对于 $x \geq 0$ ，不等式 $(1 - x^{2}) \cdot (f (x) + x + a) \leq a x + 1$ 恒成立.

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