2022年中考数学二轮专题复习-二次函数的应用

试卷更新日期：2022-04-01 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m²）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（）

A、一次函数关系 B、二次函数关系 C、反比例函数关系 D、正比例函数关系

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2. 拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为 $y = - \frac{1}{3} x^{2}$ ，当水面离桥顶的高度为 $\frac{25}{3}$ m时，水面的宽度为（）米.

A、8 B、9 C、10 D、11

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3. 正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（）

A、 $y = \frac{1}{6} x$ B、 $y = 6 x$ C、 $y = 6 x^{2}$ D、 $y = \frac{6}{x}$

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4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，a+b=16，则Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为（）.

A、 $s = \frac{1}{2} a^{2} - 8 a$ B、 $s = - \frac{1}{2} a^{2} + 8 a$ C、S=a²-16a D、S=a²-16a

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5. 一次函数 $y = b x + a (b \neq 0)$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（）

A、1.5m B、2m C、2.25m D、2.5m

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 9 0^{∘}$ ， $A B = 6 m m$ ， $B C = 12 m m$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $A B$ 向 $B$ 以 $2 m m / s$ 的速度移动（不与点 $B$ 重合），动点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $B C$ 向 $C$ 以 $4 m m / s$ 的速度移动（不与点 $C$ 重合）.如果 $P$ 、 $Q$ 分别从 $A$ 、 $B$ 同时出发，那么经过（）秒，四边形 $A P Q C$ 的面积最小.

A、0.5 B、1.5 C、3 D、4

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8. 某种商品的价格是 $2$ 元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是 $x$ ，经过两次降价后的价格 $y$ （单位：元）随每次降价的百分率 $x$ 的变化而变化，则 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式是（）

A、 $y = 2 {(x + 1)}^{2}$ B、 $y = 2 {(1 - x)}^{2}$ C、 $y = {(x + 1)}^{2}$ D、 $y = {(x - 1)}^{2}$

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9. 如图，四边形ABCD中，AB=AD ， CE⊥BD ， CE= $\frac{1}{2}$ BD ．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm²）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（）

A、 $S = \frac{1}{4} x^{2} - 10 x + 100$ B、 $S = 2 x^{2} - 40 x + 200$ C、 $S = x^{2} - 20 x + 100$ D、 $S = x^{2} + 20 x + 100$

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10. 如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m.若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（）

A、193 B、194 C、195 D、196

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12. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：

t	0	1	2	3	4	5	6	7	…
h	0	8	14	18	20	20	18	14	…

下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ $\frac{9}{2}$ ；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降.其中正确的结论是（）

A、②③ B、①②③ C、①②③④ D、②③④

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13. 如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝ $\frac{1}{4}$ x²﹣1上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则OP﹣PA值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14. 学校卫生间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.小丽经过测量发现：洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD，洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，D，H与喷嘴位置点B三点共线.当小丽按住顶部A下压至如图②位置时，洗手液从喷口B流出（此时喷嘴位置点B距台面的距离为16cm），路线近似呈抛物线状，小丽在距离台面15cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为4cm，若小丽不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是16cm.根据小丽测量所得数据，可得洗手液喷出时的抛物线函数解析式的二次项系数是（）

A、﹣ $\frac{1}{18}$ B、 $\frac{1}{18}$ C、﹣ $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{16}$

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15. 如图是二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 和一次函数 $y_{2} = m x + n (m \neq 0)$ 的图象.则下列结论正确的是（）

A、若点 $M (- 2 ， d_{1}) ， N (\frac{1}{2} ， d_{2}) ， P (2 ， d_{3})$ 在二次函数图象上，则 $d_{1} < d_{2} < d_{3}$ B、当 $x < - \frac{1}{2}$ 或 $x > 3$ 时， $y_{1} > y_{2}$ C、 $2 a - b = 0$ D、当 $x = k^{2} + 2$ （ $k$ 为实数）时， $y_{1} \leq c$

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16. 对于一个函数自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数 $y = x^{2} - 6 x + m (m \neq 0)$ 有两个不相等的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，关于x的方程 $- x^{2} + 6 x - m - 2 = 0$ 有两个不相等的非零实数根 $x_{3}$ 和 $x_{4}$ $(x_{3} < x_{4})$ ，则下列式子一定正确的是（）

A、 $0 < \frac{x_{1}}{x_{3}} < 1$ B、 $\frac{x_{1}}{x_{3}} > 1$ C、 $0 < \frac{x_{2}}{x_{4}} < 1$ D、 $\frac{x_{2}}{x_{4}} > 1$

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17. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P₁（ $x_{1}$ ， $y_{1}$ ），P₂（ $x_{2}$ ， $y_{2}$ ）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P₁AB的面积为S₁ ， △P₂AB的面积为S₂。有下列结论：①当 $x_{1} > x_{2} + 2$ 时，S₁>S₂；②当 $x_{1} < 2 - x_{2}$ 时，S₁<S₂；③当 $| x_{1} - 2 | > | x_{2} - 2 | > 1$ 时，S₁>S₂；④当 $| x_{1} - 2 | > | x_{2} + 2 | > 1$ 时，S₁<S₂。其中正确结论的个数是

A、1 B、2 C、3 D、4

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18. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C运动，连结BM，CM，AN，DN，则在整个运动过程中，阴影部分面积和的大小变化情况是（）

A、不变 B、一直变大 C、先减小后增大 D、先增大后减小

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19. 如图，点 $P$ 是以 $A B$ 为直径的半圆上的动点， $C A ⊥ A B ， P D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，连接 $A P$ ，设 $A P ＝ x ， P A ﹣ P D ＝ y$ ，则下列函数图象能反映 $y$ 与 $x$ 之间关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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20.
如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm² ．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是（　　）

A、AD＝BE＝5㎝　　　 B、cos∠ABE＝ $\frac{3}{5}$ 　 C、当0＜t≤5时，y= $\frac{2}{5}$ t² D、当t= $\frac{29}{4}$ 秒时，△ABE∽△QBP

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二、填空题

21. 某种产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量y与x之间的函数表达式是．

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22. 在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是．

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23. 如图，某运动员推铅球，铅球行进高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的关系是 $y = - \frac{1}{20} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{6}{5}$ ，则此运动员将铅球推出的距离是m.

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24. 如图，二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与一次函数 $y_{2} = m x + n (m \neq 0)$ 的图象相交于点 $A (- 1 ， 5)$ 和 $B (5 ， 2)$ ，则使不等式 $a x^{2} + b x + c < m x + n$ 成立的x的取值范围是.

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°} ， C A = C B = 12$ ，延长线段BC至点 $D$ 使 $C D = 4$ ，连接AD.若点 $P$ 是线段BC上一个动点，过点 $P$ 作 $P Q / / A D$ 交AB于点 $Q$ ，连接AP，则当 $Δ A P Q$ 的面积最大时，BP的长度为.

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26. 如图，已知抛物线 $y = - \frac{3}{16} (x + 4) (x - 4)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点， $⊙ C$ 的半径为2． $G$ 为 $⊙ C$ 上一动点， $P$ 为 $A G$ 的中点，则 $A G$ 的最小值为， $O P$ 的最大值为．

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27. 如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作 FH⊥AD，垂足为H，连结AF. 在整个变化过程中，△AEF 面积的最大值是．

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28. 如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔 $0.4 m$ 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部 $0.5 m$ ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为m.

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29. 如图，P是抛物线y＝x²﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．

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30. 如图所示，从高为2m的点 $A$ 处向右上抛一个小球 $P$ ，小球路线呈抛物线 $L$ 形状，小球水平经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶B处弹起，已知 $M N = 4$ m， $F M = D E = B C = 1.2$ m， $C D = E F = 1$ m，若小球弹起形成一条与 $L$ 形状相同的抛物线，且落点 $Q$ 与 $B$ ， $D$ 在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是m

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三、解答题

31. 某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式：h＝v₀t﹣ $\frac{1}{2}$ gt²（0＜t＜4），其中g以10米/秒²计算.这种爆竹点燃后以v₀＝20米/秒的初速度上升，问：这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地面最远？

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32. 如图，一块矩形草地的长为100m，宽为80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草坪的面积为y（m²）．求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．

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33. 如图是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？请你以点D为原点、 $A B$ 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，解决这个实际问题．

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34. 如图，二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，求 $△ B C D$ 的面积．

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35. 如图，一个边长为 $8m$ 的正方形花坛是由4块全等的小正方形区域组成的中心对称图形.在小正方形 $A B C D$ 中，点G、E、F分别在 $C D$ 、 $A B$ 、 $A D$ 上，且 $D G = 1 m ， A E = A F$ .在 $△ A E F$ 、 $△ D F G$ 、五边形 $E B C G F$ 三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元.问：点E在什么位置时，正方形花坛种植花卉所需的总费用最少，最少为多少元？

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36. 如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m.若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外?

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37. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{6} x^{2} + b x + c$ 经过原点O，与x轴交于点A(5，0)，第一象限的点C(m，4)在抛物线上，y轴上有一点B(0，10).

(I)求抛物线的解析式及它的对称轴；

(Ⅱ)点 $P (0 ， n)$ 在线段OB上，点Q在线段BC上，若 $O P = 2 B Q$ ，且 $P A = Q A$ ，求n的值；

(Ⅲ)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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38. 为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m²的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m²），种草所需费用y₁（元）与x（m²）的函数关系式为 $y_{1} = {\begin{matrix} k_{1} x (0 \leq x < 600) \\ k_{2} x + b (600 \leq x \leq 1000) \end{matrix}$ ，其图象如图所示：栽花所需费用y₂（元）与x（m²）的函数关系式为y₂=﹣0.01x²﹣20x+30000（0≤x≤1000）．

(1)、请直接写出k₁、k₂和b的值；

(2)、设这块1000m²空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；

(3)、若种草部分的面积不少于700m² ，栽花部分的面积不少于100m² ，请求出绿化总费用W的最小值．

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39. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 与坐标轴分别交于点A、B，与直线 $y = x$ 交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）。

(1)、求点P运动的速度是多少？

(2)、当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

(3)、当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值。

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40.
如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x²先向右平移1个单位，再向下平移 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 个单位，得到新的抛物线y=ax²+bx+c，该抛物线与y轴交于点B，与x轴正半轴交于点C．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）如图1，有一条与y轴重合的直线l向右匀速平移，移动的速度为每秒1个单位，移动的时间为t秒，直线l与抛物线y=ax²+bx+c交于点P，当点P在x轴上方时，求出使△PBC的面积为2 $\sqrt{3}$ 的t值；
（3）如图2，将直线BC绕点B逆时针旋转，与x轴交于点M（1，0），与抛物线y=ax²+bx+c交于点A，在y轴上有一点D（0， $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ），在x轴上另取两点E，F（点E在点F的左侧），EF=2，线段EF在x轴上平移，当四边形ADEF的周长最小时，先简单描述如何确定此时点E的位置？再直接写出点E的坐标．

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四、综合题

41. 湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 $20000 k g$ 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养 $10$ 天的总成本为 $30.4$ 万元；放养 $20$ 天的总成本为 $30.8$ 万元（总成本 $=$ 放养总费用+收购成本）．

(1)、设每天的放养费用是 $a$ 万元，收购成本为 $b$ 万元，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、设这批淡水鱼放养 $t$ 天后的质量为 $m (k g)$ ，销售单价为 $y$ 元 $/ k g$ ．根据以往经验可知： $m$ 与 $t$ 的函数关系为 $m = {\begin{matrix} 20000 (0 \leq t \leq 50) \\ 100 t + 15000 (50 < t \leq 100) \end{matrix}$ ； $y$ 与 $t$ 的函数关系如图所示．
①分别求出当 $0 \leq t \leq 50$ 和 $50 < t \leq 100$ 时， $y$ 与 $t$ 的函数关系式；

②设将这批淡水鱼放养 $t$ 天后一次性出售所得利润为 $W$ 元，求当 $t$ 为何值时， $W$ 最大？并求出最大值．（利润 $=$ 销售总额-总成本）

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42.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+ $\frac{3}{2}$ x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x= $\frac{3}{2}$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；

(3)、在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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43. 如图①，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 经讨点 $A (4 ， 3)$ 对称轴是直线 $x = 2$ .顶点为B．抛物线与y轴交于点C，连接 $A C$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ x$ 轴于点D，点E是线段 $A C$ 上的动点（点E不与 $A$ 、C两点重合）.

(1)、求抛物线的函数解析式和顶点B的坐标；

(2)、若直线 $B E$ 将四边形 $A C O D$ 分成面积比为1：3的两个四边形，求点E的坐标；

(3)、如图②，连接DE，作矩形 $D E F G$ ，在点E的运动过程中，是否存在点 $G$ 落在y轴上的同时点F也恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由.

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