2022年中考数学二轮专题复习-二次函数的图像和性质

试卷更新日期：2022-04-01 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 二次函数y=（x-3）²+1的最小值是（）

A、3 B、-3 C、1 D、-1

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2. 将二次函数 $y = {(x - 1)}^{2}$ 的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是（）

A、 $y = {(x - 2)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x - 2)}^{2} - 2$ C、 $y = x^{2} - 2$ D、 $y = x^{2} + 2$

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3. 抛物线 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 2$ 的对称轴是直线（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $x = - 2$ D、 $x = 2$

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4. 抛物线 $y = 3 {(x - 1)}^{2} + 8$ 的顶点坐标为（）

A、 $(1 ， 8)$ B、 $(- 1 ， 8)$ C、 $(- 1 ， - 8)$ D、 $(1 ， - 8)$

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5. 根据以下表格中二次函数y＝ax²＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax²＋bx＋c＝0的一个解x的范围是（）
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax²＋bx＋c
－1
－0.5
1
3.5
7

A、0＜x＜0.5 B、0.5＜x＜1 C、1＜x＜1.5 D、1.5＜x＜2

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6. 二次函数y＝ax²+bx+c的自变量x和函数y的部分对应值如表：

x	…	0	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
y	…	4	5	4	﹣4	﹣20	﹣45	…

则该二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是（）

A、﹣45 B、﹣20 C、﹣4 D、0

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7. 已知二次函数 $y = (x - \frac{1}{m}) (m x - 4 m)$ （其中m＞0），下列说法正确的是（）

A、当x＞2时，都有y随着x的增大而增大 B、当x＜3时，都有y随着x的增大而减小 C、若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则 $n \geq 2 + \frac{1}{2 m}$ D、若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则 $n \leq 2 + \frac{1}{2 m}$

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8. 若A（﹣6，y₁），B（﹣3，y₂），C（1，y₃）为二次函数y＝2x²﹣1图象上的三点，则y₃ ， y₂ ， y₁的大小关系是（）

A、y₃＜y₂＜y₁ B、y₂＜y₃＜y₁ C、y₃＜y₁＜y₂ D、y₂＜y₁＜y₃

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9. 如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：
①abc＜0，②2a+b＞0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，已知点A（ $\sqrt{3}$ ，2）， B(0，1)，射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y=ax²+bx+1中a，b的值分别为（）

A、 $a = 2 ， b = - \frac{5}{3} \sqrt{3}$ B、 $a = \frac{1}{2} ， b = - \frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $a = 3 ， b = - \frac{8}{3} \sqrt{3}$ D、 $a = - \frac{1}{3} ， b = \frac{2}{3} \sqrt{3}$

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11. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2 (a 、 b$ 是常数， $a \neq 0)$ 的图象经过点 $(2 ， 1)$ 和 $(4 ， - 2)$ ，且当 $0 ⩽ x ⩽ m$ 时，函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的最小值为 $- 2$ ，最大值为1，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 ⩽ m ⩽ 0$ B、 $2 ⩽ m < \frac{7}{2}$ C、 $2 ⩽ m ⩽ 4$ D、 $m ⩾ 2$

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12. 如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的夹角为30°，点A在抛物线 $y = a x^{2} (a < 0)$ 的图象上，则a的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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13. 已知函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = - 4$ ．若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根，且 $x_{1} < x_{2} ， 1 < x_{2} < 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{1} x_{2} > 0$ B、 $- 10 < x_{1} < - 9$ C、 $b^{2} - 4 a c < 0$ D、 $a b c > 0$

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14. “如果二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与 $x$ 轴有两个交点，那么一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根．”请根据这句话的理解，解决以下问题；若 $m$ 、 $n (m < n)$ 是关于 $x$ 的方程 $1 - (x - a) (x - b) = 0$ 的两根，且 $a < b$ ，则 $a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ 的大小关关系是（）

A、 $m < a < b < n$ B、 $a < b < m < n$ C、 $a < m < b < n$ D、 $a < m < n < b$

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15. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，与y轴的交点B在 $(0 ， - 2)$ 和 $(0 ， - 1)$ 之间（不包括这两点），对称轴为直线 $x = 1$ ．下列结论：① $16 a + 4 b + c < 0$ ：② $b^{2} - 4 a c > 4 a$ ；③ $\frac{1}{3} < a < \frac{2}{3}$ ；④ $b < c$ ．正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16. 如图，将函数y $= - \frac{1}{2}$ （x+4）²+5的图象沿y轴向下平移得到一条新函数的图象，其中点A（﹣6，m），B（﹣1，n）平移后的对应点分别为点A'、B'，若曲线AB扫过的面积为30（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）

A、y $= - \frac{1}{2}$ （x+4）²﹣2 B、y $= - \frac{1}{2}$ （x+4）²﹣1 C、y $= - \frac{1}{2}$ （x+4）²+2 D、y $= - \frac{1}{2}$ （x+4）²+1

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17. 二次函数y= $\frac{2}{3}$ x²的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，A₂₀₂₃在y轴的正半轴上，B₁ ， B₂ ， B₃ ， …，B₂₀₂₃在二次函数y= $\frac{2}{3}$ x²第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁ ， △A₁B₂A₂ ， △A₂B₃A₃ ， …，△A₂₀₂₂B₂₀₂₃A₂₀₂₃都是等边三角形，则△A₂₀₂₂B₂₀₂₃A₂₀₂₃的周长是（）

A、6069 B、6066 C、6063 D、6060

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18. 将二次函数y＝﹣x²+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）

A、 $- \frac{21}{4}$ 或﹣3 B、 $- \frac{13}{4}$ 或﹣3 C、 $\frac{21}{4}$ 或﹣3 D、 $\frac{13}{4}$ 或﹣3

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19. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x - 3 a$ （a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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20. 对于每个非零自然数n，抛物线 $y = x^{2} - \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} x - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n}$ 与x轴交于 $A_{n}$ ， $B_{n}$ 两点，以 $A_{n} B_{n}$ 表示这两点之间的距离，则 $A_{2} B_{2} + A_{3} B_{3} + A_{4} B_{4} \dots + A_{2021} B_{2021}$ 的值是（）

A、 $\frac{1010}{1011}$ B、 $\frac{1009}{1010}$ C、 $\frac{505}{1011}$ D、1

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二、填空题

21. 在二次函数y=-x²+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表．

x

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y

-14

-7

-2

2

m

n

-7

-14

则m-n的值为．

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22. 已知抛物线 $y = x^{2} - x - 1$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $(a ， 0)$ ，则 $a^{2} - a + 2020 =$ ．

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23. 如图，已知 $⊙ P$ 的半径为1，圆心P在抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ 上运动，当 $⊙ P$ 与x轴相切时，圆心P的横坐标为.

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24. 点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x²+ax+4的图象上，则m-n的最大值为.

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25. 如果抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a0．（填“＜”或“＞”）

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26. 点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）（x₁·x₂≥0）是y=ax²（a≠0）图象上的点，存在 $| x_{1} - x_{2} |$ =1时， $| y_{1} - y_{2} |$ =1成立，写出一个满足条件a的值

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27. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 为常数）的顶点为 $P$ ，且抛物线经过点 $A (- 1 ， 0) ， B (m ， 0) ， C (- 2 ， n) (1 < m < 3 ， n < 0)$ ，下列结论：① $a b c > 0$ ， ② $3 a + c < 0$ ， ③ $a (m - 1) + 2 b > 0$ ， ④ $a = - 1$ 时，存在点 $P$ 使 $Δ P A B$ 为直角三角形.其中正确结论的序号为.

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28. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则 $△ D F G$ 面积的最小值为．

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29. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(- 2 ， - 2)$ ， $(6 ， - 2)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点 $P$ 在线段 $A B$ 上，与 $x$ 轴相交于 $C$ ， $D$ 两点，设点 $C$ ， $D$ 的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .若 $x_{1}$ 是-1，则 $x_{2}$ 的最大值是.

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30. 已知抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ （ $b ， c$ 为常数， $b > 0$ ）经过点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $M (m ， 0)$ 是x轴正半轴上的动点.点 $Q (b + \frac{1}{2} ， y_{Q})$ 在抛物线上，当 $\sqrt{2} A M + 2 Q M$ 的最小值为 $\frac{33 \sqrt{2}}{4}$ 时，b的值为.

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三、计算题

31.

(1)、解方程：2x²+1＝3x；

(2)、将二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{3}{2}$ 配方成y＝a（x﹣h）²+k的形式．

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32. 已知抛物线y＝﹣2x²+(m﹣3)x﹣8．

(1)、若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；

(2)、若抛物线的顶点在x正半轴上，求m的值．

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33. 用适当的方法解下列方程：

(1)、2x²﹣8x=0．

(2)、x²﹣3x+4=0．

(3)、y= $\frac{1}{2}$ x²﹣x+3，求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．

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34.
如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°，AD：AB=1：2．

（1）求点D的坐标；
（2）求经过O、D、B三点的抛物线的函数关系式．

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35. 如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BP，作PE⊥PB，交射线DC于点E，以线段PE，PB为邻边作矩形BPEF.过点P作GH⊥CD，分别交AB、CD于点G、H.

(1)、求证：△PGB∽△EHP；

(2)、求 $\frac{P E}{P B}$ 的值；

(3)、求矩形BPEF的面积的最小值.

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四、解答题

36. 已知二次函数 $y = - \frac{3}{16} x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $A (0 ， 3)$ ， $B (- 4 ， - \frac{9}{2})$ 两点，求b，c的值.

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37. 已知二次函数 $y = 2 {(x - 1)}^{2}$ 的图象如图所示，求 $△ A B O$ 的面积.

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38. 一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”如图所示，已知点A ， B ， C ， D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线对应的解析式为y＝ $\frac{3}{2}$ x²﹣ $\frac{3}{2}$ ，求CD的长．

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39. 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）若抛物线交y轴于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）在抛物线第二象限的图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，请直接写出点P的坐标和△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

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40. 如图，是某座抛物线型的隧道示意图，已知路面AB宽24米，抛物线最高点C到路面AB的距离为8米，为保护来往车辆的安全，在该抛物线上距路面AB高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF.（提示：以AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系）

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41. 抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 过点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为点D．
（Ⅰ）求点 $C ， D$ 的坐标；

（Ⅱ）点 $E$ 是线段 $O B$ 上一动点，过点 $E$ 作直线 $l ⊥ x$ 轴，交抛物线于点 $M$ ，连接 $B M$ 并延长交 $y$ 轴于点 $N$ ，连接 $A M ， O M$ ．若 $△ A E M$ 的面积是 $△ M O N$ 面积的2倍，求点 $E$ 的坐标；

（Ⅲ）抛物线上一点 $T$ ，点 $T$ 的横坐标是 $- 3$ ，连接 $B T$ ，与 $y$ 轴交于点 $P$ ，点 $Q$ 是线段 $A T$ 上一动点（不与点 $A$ ，点 $T$ 重合）将 $△ B P Q$ 沿 $P Q$ 所在直线翻折，得到 $△ F P Q$ ，当 $△ F P Q$ 与 $△ T P Q$ 重叠部分的面积是 $△ T B Q$ 面积的 $\frac{1}{4}$ 时，求线段 $T Q$ 的长度．

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42. 如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为原点，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ （ $b$ ， $c$ 为常数），经过点 $A (- 4 ， 0)$ 和点 $B (0 ， - 2)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线上是否存在一点 $P$ ，使 $S_{△ P A B} = S_{△ O A B}$ ？若存在，请求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、点 $M$ 为直线 $A B$ 下方抛物线上一点，点 $N$ 为 $y$ 轴上一点，当 $△ M A B$ 的面积最大时，直接写出 $2 M N + O N$ 的最小值．

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43. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 5 (a \neq 0)$ 经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为 $y = x + n$ ．

①求抛物线的解析式．

②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．

③过点A作 $A M ⊥ B C$ 于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

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44. 如图，已知抛物线y=﹣x²﹣2x+m+1与x轴交于A（x₁ ， 0）、B（x₂ ， 0）两点，且x₁＜0，x₂＞0，与y轴交于点C，顶点为P．（提示：若x₁ ， x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根，则x₁+x₂=﹣ $\frac{b}{a}$ ，x₁•x₂= $\frac{c}{a}$ ）

(1)、求m的取值范围；

(2)、若OA=3OB，求抛物线的解析式；

(3)、在（2）中抛物线的对称轴PD上，存在点Q使得△BQC的周长最短，试求出点Q的坐标．

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五、综合题

45. 如图，已知抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-2，0），直线BC的解析式为y= $\frac{1}{2}$ x-4.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR.求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)、如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2 $\sqrt{5}$ 个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

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46. 如图，已知二次函数 $y = {ax}^{2} + \frac{3}{2} x + 3 (a < 0)$ 的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C. 点P，Q为抛物线上两动点.

(1)、若点P坐标为（1，3），求抛物线的表达式；

(2)、如图①连结BC，在（1）的条件下，是否存在点Q，使得∠BCQ=∠ABC. 若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、若点P为抛物线顶点，连结OP，当 a 的值从-3变化到-1的过程中，求线段OP扫过的面积.

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x	0	0.5	1	1.5	2
y＝ax²＋bx＋c	－1	－0.5	1	3.5	7

x	-3	-2	-1	1	2	3	4	5
y	-14	-7	-2	2	m	n	-7	-14