重庆市名校联盟2022届高三下学期理数仿真试卷

试卷更新日期：2022-04-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A =$ ${x | x^{2} - 5 x \leq 0}$ ， $B =$ ${x | x = 2 k - 1 ， k \in Z}$ ，则 $A ∩ B$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 若复数 $z$ 满足 $z = \frac{2 + i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (λ ， - 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + λ \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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4. 若 $a = l o g_{\frac{1}{π}} \frac{1}{3}$ ， $b = 3^{\frac{π}{3}}$ ， $c = l o g_{3} \frac{π}{5}$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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5. 下列函数在定义域内是增函数的为（）

A、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = - x^{2}$ C、 $f (x) = l o g_{3} | x + 1 |$ D、 $f (x) = 2^{x}$

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6. 已知点 $M$ $(x ， y)$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y - 4 \leq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x \geq 1 \end{array}$ ，点 $N$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一动点，则 $| M N |$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \sqrt{10} + 1]$ B、 $[\sqrt{2} - 1 ， \sqrt{10} + 1]$ C、 $[\sqrt{2} ， 2 \sqrt{2}]$ D、 $[\sqrt{2} - 1 ， 2 \sqrt{2}]$

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7. 2018年平昌冬季奥运会于2月9日~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟长为8，宽为5的长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为 $n$ ，圆环半径为1，如图，则比值 $P$ 的近似值为（）

A、 $\frac{32 n}{5 π N}$ B、 $\frac{32 n}{π N}$ C、 $\frac{8 n}{π N}$ D、 $\frac{5 π n}{32 N}$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) + 1 (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ ，其图象与直线 $y = - 1$ 相邻两个交点的距离为 $π$ ，若 $\forall x \in (- \frac{π}{12} ， \frac{π}{3}) ， f (x) > 1$ 恒成立，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ B、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ D、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$

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9. 我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）

A、 $i < 7 ， S = S - \frac{1}{i} ， i = 2 i$ B、 $i \leq 7 ， S = S - \frac{1}{i} ， i = 2 i$ C、 $i < 7 ， S = \frac{S}{2} ， i = i + 1$ D、 $i \leq 7 ， S = \frac{S}{2} ， i = i + 1$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的右焦点 $F$ 到其一条渐近线的距离为1，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线过双曲线的左焦点，则抛物线上的动点 $M$ 到点 $(5 ， 0)$ 距离的最小值是（）

A、5 B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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11. 三棱锥的体积为 $\frac{8}{3}$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $Δ A B C$ 的面积为4，三边 $A B ， B C ， C A$ 的乘积为16，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、4π B、8π C、16π D、32π

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12. 若存在两个正数 $x ， y$ ，使得不等式 $3 x + a (2 y - 4 e x) (l n y - l n x) \leq 0$ 成立，其中 $a > 0$ ， $e$ 为自然对数的底数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 2 e)$ B、 $[\frac{3}{2 e} ， 2 e)$ C、 $[\frac{3}{2 e} ， + \infty)$ D、 $[2 e ， + \infty)$

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二、填空题

13. $(2 - x) {(x - 1)}^{4}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是．

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14. 甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为 $A ， B ， C$ 三个层次），得 $A$ 的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得 $A$ ．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：
甲说：看丙的状态，他只能得 $B$ 或 $C$ ；
乙说：我肯定得 $A$ ；
丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．
事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得 $A$ 的同学是

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15. 已知函数 $f (x) = 2^{| x |} + x^{2} - 28$ ，则不等式 $f (x^{2} - 3 x) \leq 4$ 的解集为.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点， $B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = a_{n + 1} - 2$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} = 2^{b_{n}}$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = b_{2 n - 1} + \frac{a_{n}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 某市在对高三学生的4月理科数学调研测试的数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布 $X ~ N （ 110 ， 144 ）$ ，现从甲校100分以上的200份试卷中用系统抽样的方法抽取了20份试卷来分析，统计如下表：（表中试卷编号 $n_{1} < n_{2} < n_{3} = 26 < n_{4} < ⋯ < n_{20}$ ）
试卷编号
$n_{1}$
$n_{2}$
$n_{3}$
$n_{4}$
$n_{5}$
$n_{6}$
$n_{7}$
$n_{8}$
$n_{9}$
$n_{10}$
试卷得分
109
118
112
114
126
128
127
124
126
120
试卷编号
$n_{11}$
$n_{12}$
$n_{13}$
$n_{14}$
$n_{15}$
$n_{16}$
$n_{17}$
$n_{18}$
$n_{19}$
$n_{20}$
试卷得分
135
138
135
137
135
139
142
144
148
150

(1)、列出表中试卷得分为126分的试卷编号（写出具体数据）；

(2)、该市又从乙校中也用系统抽样的方法抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图（如图），从甲校20份试卷中任取1份，从乙校20份试卷中任取1份，求甲校试卷得分低于120分，乙校试卷得分不低于120分的概率；

(3)、在第（2）问的前提下，从甲乙两校这40份试卷中，从成绩在140分以上（含140分）的试卷中任意抽取3份，该3份成绩在全市前15名的份数记为ξ，求ξ的分布列和期望.
（附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ 则P（μ-σ<X<μ+σ）=68.3%，P（μ-2σ<X<μ+2σ）=95.4%，P（μ-3σ<X<μ+3σ）=99.7%）

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19. 如图一，等腰直角三角形ABC的底边 $A B = 4$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上， $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ，现将 $△ A D E$ 沿DE折起到 $△ P D E$ 的位置（如图2）.

(1)、求证： $D E ⊥ P B$ ；

(2)、若 $P E ⊥ B E$ ，直线PD与平面 $P B C$ 所成的角为 $30 °$ ，求平面PDE与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 已知 $M (4 ， 0)$ ， $N (1 ， 0)$ ，曲线 $C$ 上的任意一点 $P$ 满足： $\vec{M N} \cdot \vec{M P} = 6 | \vec{P N} |$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $N (1 ， 0)$ 的直线与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于 $H$ 点，设 $\vec{H A} = λ_{1} \vec{A N}$ ， $\vec{H B} = λ_{2} \vec{B N}$ ，试问 $λ_{1} + λ_{2}$ 是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = a x + l n x + 1 . (a \in R)$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、对任意的 $x > 0 ， f (x) \leq x e^{2 x}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{2} c o s α \\ y = 1 + \sqrt{2} s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点 $A$ 的极坐标为 $(2 ， \frac{5 π}{6})$ .

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若点 $B$ 在曲线 $C$ 上， $| O A | \times | O B | = 2 \sqrt{6}$ ，求 $△ A O B$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - 2 |$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，解不等式 $f (x) \leq 3$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq | x - 3 |$ 在 $R$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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试卷编号	$n_{1}$	$n_{2}$	$n_{3}$	$n_{4}$	$n_{5}$	$n_{6}$	$n_{7}$	$n_{8}$	$n_{9}$	$n_{10}$
试卷得分	109	118	112	114	126	128	127	124	126	120
试卷编号	$n_{11}$	$n_{12}$	$n_{13}$	$n_{14}$	$n_{15}$	$n_{16}$	$n_{17}$	$n_{18}$	$n_{19}$	$n_{20}$
试卷得分	135	138	135	137	135	139	142	144	148	150