重庆市名校联盟2022届高三下学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-04-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x \leq 3}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$ B、 ${0 ， 3}$ C、 ${0 ， 2}$ D、 ${0 ， 2 ， 3}$

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2. 复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - i (i$ 为虚数单位 $)$ ，则 $z$ 的模为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是（）

A、6π B、12π C、18π D、24π

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4. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为F₁ ， F₂离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过F₂的直线l交C与A，B两点，若△AF₁B的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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5. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} + a_{6} = a_{2} + 4$ ，则 $S_{17} =$ （）

A、4 B、68 C、136 D、272

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6. 函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) \sin x$ 的部分图象大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）

A、1440种 B、960种 C、720种 D、480种

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8. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (x + 2)$ ，且当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，则函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = l g | x |$ 的图像的交点个数为（）.

A、18个 B、16个 C、14个 D、10个

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二、多选题

9. 若 ${(x + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）

A、第4项 B、第5项 C、第6项 D、第7项

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10. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{c} = (m - 2 ， - n)$ ，其中 $m$ ， $n$ 均为正数，且 $(\vec{a} - \vec{b}) / / \vec{c}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 B、向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $2 m + n = 4$ D、mn的最大值为2

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11. 如果两个函数存在关于y轴对称的点，我们称这两个函数构成类偶函数对，下列哪些函数能与函数 $y = - x$ 构成类偶函数对（）

A、 $f (x) = 2^{x} + x$ B、 $f (x) = x^{2} - x - 3$ C、 $f (x) = l n x + 2$ D、 $f (x) = 2 + \sqrt{x + 2}$

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12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $M (1 ， 2)$ ， $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 都在抛物线上，且 $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F M} = \vec{0}$ ，则下列结论正确的是（）

A、抛物线方程为 $y^{2} = 2 x$ B、F是 $△ A B M$ 的重心 C、 $| \vec{F A} | + | \vec{F M} | + | \vec{F B} | = 6$ D、 $S_{△ A F O}^{2} + S_{△ B F O}^{2} + S_{△ M F O}^{2} = 3$

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三、填空题

13. 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ .若 $P (X > 0) = 0.9$ ，则 $P (2 < X < 4) =$ .

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14. 已知 $c o s θ = - \frac{3}{5}$ ，则 $c o s 2 θ$ 的值为.

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15. 已知函数 $f (x) = l n x - a$ ，若 $f (x) < x^{2}$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2，过AB，BB₁的中点E，F作平面α与平面AA₁C₁C垂直，则所得截面周长为．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 3$ ， $S_{5} = 25$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2^{n - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b s i n A c o s C = a (\sqrt{3} c o s A - c o s B s i n C)$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $2$ ，且 $b - c = \frac{a}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E B / / P A$ ， $A B = P A = 4$ ， $E B = 2$ ， F为 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $B D / /$ 平面 $P E C$ ；

(2)、求二面角 $D - P C - E$ 的大小．

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20. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x（℃）
10
11
13
12
8
发芽数y（颗）
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = y - \hat{b} x$ ．

(1)、求选取的2组数据恰好是不相邻两天数据的概率；

(2)、若选取的是12月1日与12月5日的数据，请根据12月2日至12月4日的数据求出y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $P (0 ， 3)$ 的动直线l与C交于A，B两点，且当动直线l与y轴重合时，四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $△ A B F_{1}$ 与 $△ A B F_{2}$ 的面积之比为2：1，求直线l的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - b x + l n x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，若 $b \geq \frac{5}{2}$ ，且 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \geq k$ 恒成立，求实数 $k$ 的最大值.

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日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
温差x（℃）	10	11	13	12	8
发芽数y（颗）	23	25	30	26	16