重庆市2022届高三数学高考模拟调研试卷（三）

试卷更新日期：2022-04-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{4 + 3 i}{3 - 4 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第四象限 C、实轴上 D、虛轴上

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2. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {a + b | a \in A ， b \in A}$ ，则集合 $A ∪ B$ 中元素个数为（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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3. 设 $a \in R$ ，则“ $a > 3$ ”是“ $\frac{3}{a} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A$ 在 $y$ 轴上， $△ A F_{1} F_{2}$ 为等边三角形，且线段 $A F_{2}$ 的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $2 \sqrt{3} + 1$

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2}$ ， $3 a_{5}$ ， $9 a_{8}$ 成等差数列，则 $\frac{S_{6}}{S_{3}} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、4

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6. 已知曲线 $C$ ： $y = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，要得到曲线 $C$ 的图象，可将曲线 $y = c o s x$ 的图象（）

A、先向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 B、先向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C、先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 D、先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

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7. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2^{x} + 2^{- x} (x > 0) \\ - x^{3} (x \leq 0) \end{array}$ ，若 $a = l n 2$ ， $b = 3^{0.2}$ ， $c = l o g_{0.3} 2$ ，则（）

A、 $f (a) > f (b) > f (c)$ B、 $f (b) > f (a) > f (c)$ C、 $f (a) > f (c) > f (b)$ D、 $f (c) > f (a) > f (b)$

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8. 十八世纪，数学家欧拉发现简单凸多面体的顶点数V、棱数E及面数F之间有固定的关系，即著名的欧拉公式： $V - E + F = 2$ .如图所示为上世纪八十年代科学家首次发现的碳60的电子显微镜图，它是由五边形和六边形面构成的多面体，共有60个顶点，每个顶点均为碳原子，且每个顶点引出三条棱，形似足球.根据以上信息知，碳60的所有面中五边形的个数是（）

A、12 B、20 C、32 D、40

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、在回归分析中，相关指数 $R^{2}$ 越大，说明回归效果越好 B、已知 $P (K^{2} \geq 3.841) = 0.05$ ，若根据2×2列联表得到 $K^{2}$ 的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关 C、已知由一组样本数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ 得到的回归直线方程为 $\hat{y} = 4 x + 20$ ，且 $\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 10$ ，则这组样本数据中一定有 $(10 ， 60)$ D、若随机变量 $X ~ N (μ ， 4)$ ，则不论 $μ$ 取何值， $P (μ - 4 < X < μ + 6)$ 为定值

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10. 如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点， $O C = 3$ ， $S O = 3 \sqrt{3}$ ，则下列结论中一定正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的体积为 $9 \sqrt{3} π$ B、圆锥 $S O$ 的表面积为 $18 π$ C、三棱锥 $S - A B C$ 的体积的最大值为 $9 \sqrt{3}$ D、存在点B使得直线SB与平面SAC所成角为 $\frac{π}{4}$

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11. 已知直线 $l$ 的方程为 $y = a x + \frac{1}{a}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、当 $a$ 变化时，直线 $l$ 始终经过第二、第三象限 B、当 $a$ 变化时，直线 $l$ 恒过一个定点 C、当 $a$ 变化时，直线 $l$ 始终与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相切 D、当 $a$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内变化时，直线 $l$ 可取遍第一象限内所有点

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12. 已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $s i n A = s i n B s i n C$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $t a n B + t a n C = t a n B t a n C$ B、 $t a n A t a n B t a n C = t a n A + t a n B + t a n C$ C、 $1 < t a n A \leq \frac{4}{3}$ D、 $t a n A t a n B t a n C$ 的最小值为4

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三、填空题

13. 已知二项式 ${(x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常数项为.

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14. 已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之比为.

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15. 已知甲每次来渝乘坐飞机和高铁的概率分别为0.6和0.4，飞机和高铁正点到达的概率分别为0.8和0.9，若甲已正点抵渝，则甲此次来渝乘坐高铁的概率为.

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16. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} (\vec{a} - 2 \vec{c})$ ， $\vec{c} ⊥ (2 \vec{c} + \vec{b})$ ，则 ${| \vec{c} + \vec{a} |}^{2} + {| \vec{c} + \vec{b} |}^{2} =$ .

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是单调递增的等差数列，且 $a_{1} \cdot a_{4} = 40$ ， $a_{2} + a_{4} = 28$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及前 $n$ 项和；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为1的等差数列.

(1)、若 $c c o s B + b c o s C = \frac{3}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、是否存在整数 $a$ 使得 $△ A B C$ 为钝角三角形?若存在，求此钝角的余弦值；否则，请说明理由.

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19. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A C = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $B C = C D = 2$ ， $A D = \frac{\sqrt{22}}{2}$ ， $∠ B C D = 90 °$ .

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求二面角 $D - A B - C$ 的大小.

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20. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，直线 $l$ 过F且与抛物线 $C$ 交于A，B两点，线段AB的中点为M，当 $| A B | = 3 p$ 时，点M的横坐标为2.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当 $△ D M E$ 的面积取最小值时，求直线 $l$ 的方程.

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21. 为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是 $\frac{1}{2}$ ，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是 $\frac{1}{2}$ ，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是 $\frac{2}{3}$ .一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为 $p_{n}$ .

(1)、求 $p_{2}$ ；

(2)、证明： ${p_{n} - \frac{2}{5}}$ 为等比数列；

(3)、求数列 ${p_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，并说明 $T_{n}$ 的实际意义.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{2 x} - (1 + l n x)$ .

(1)、证明： $f (x) ≥ 2 x$ ；

(2)、对 $\forall x_{1} \in (0 ， + ∞)$ ， $x_{2} \in (0 ， e]$ ，不等式 $x_{1} x_{2} (e^{2 x_{1}} + a l n x_{2}) \geq a x_{1} + x_{2} (l n x_{1} + 1)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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