西南名校联盟2022届“3 3 3”高考文数备考诊断性联考卷（二）

试卷更新日期：2022-04-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | (x + 1) (x - 3) \leq 0}$ ， $N = {x | \frac{1}{2} < x < 4}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x < \frac{1}{2}}$ B、 ${x | \frac{1}{2} < x \leq 3}$ C、 ${x | 3 \leq x < 4}$ D、 ${x | - 1 \leq x < 4}$

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2. $\frac{1 - 2 i}{1 + i} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$

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3. 如图所示的茎叶图记录了甲､乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是（）

A、乙销售数据的极差为24 B、甲销售数据的众数为93 C、乙销售数据的均值比甲大 D、甲销售数据的中位数为92

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4. 下列函数中是减函数的为（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ C、 $f (x) = x^{- 2}$ D、 $f (x) = \sqrt[3]{- x}$

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5. 直线 $y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 在第一、第三象限分别交于P、Q两点， $F_{2}$ 是C的右焦点，有 $| P F_{2} | ： | Q F_{2} | = 1 ： \sqrt{3}$ ，且 $P F_{2} ⊥ Q F_{2}$ ，则C的离心率是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $\sqrt{6} + 1$

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6. 甲､乙､丙三位同学中只有一人会跳拉丁舞，甲说：我会；乙说：我不会；丙说：甲不会；如果这三人中有且只有一人说真话，由此可判断会跳拉丁舞的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、无法确定

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7. 如图，在一个正方体中，E，G分别是棱AB， $C C^{'}$ 的中点，F为棱CD靠近C的四等分点.平面 $E F G$ 截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $c o s C = \frac{1}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、1 C、 $\sqrt{15}$ D、 $2 \sqrt{15}$

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9. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{3} = 5$ ， $S_{9} = 21$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、12 B、13 C、14 D、15

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10. 随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外.现有3个完全相同的“雪容融”.甲､乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为（）

A、0.2 B、0.25 C、0.3 D、0.5

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11. 已如A，B，C是表面积为 $16 π$ 的球O的球面上的三个点，且 $A C = A B = 1$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，则三棱锥 $O - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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12. 定义域为R的函数 $f (x)$ 满足：①对任意 $2 \leq x_{1} < x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ；②函数 $y = f (x + 2)$ 的图象关于y轴对称.若实数s，t满足 $f (2 s + 2 t + 2) \leq f (s + 3)$ ，则当 $t \in [0 ， 1]$ 时， $\frac{t + 1}{t + s + 3}$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{4} ， \frac{2}{3}]$ B、 $[\frac{1}{3} ， 2]$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{4}] ∪ (\frac{2}{3} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{3}] ∪ [2 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 曲线 $f (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为.

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14. 已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的底面半径为.

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15. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，则 $x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为.

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16. 已知点P在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上， $A (- 2 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”.某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：
年龄/岁
$[10 ， 20)$
$[20 ， 30)$
$[30 ， 40)$
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80]$
抽取人数
10
20
25
15
18
7
5
有意向购买的人数
10
18
22
9
10
4
2
参考数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、若从年龄在 $[60 ， 70)$ 的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率；

(2)、若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？

年龄低于40岁的人数
年龄不低于40岁的人数
总计
有意向购买冰墩墩的人数
无意向购买冰墩墩的人数
总计

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18. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} - 8$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${{(- 1)}^{n} (S_{n} - 3 n)}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，已知直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ， D，E，F分别为 $A C$ ， BC， $B_{1} B$ 的中点， $C_{1} F ⊥ A_{1} B_{1}$ ， $G$ 为线段DE上一动点.

(1)、证明： $C_{1} F ⊥ A_{1} G$ ；

(2)、求几何体 $A_{1} B_{1} C_{1} - D E C$ 的体积.

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20. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 2$ 与x轴交于A，B两点，动点P满足直线 $A P$ 与直线 $B P$ 的斜率之乘积为 $- \frac{1}{2}$ .

(1)、求动点P的轨迹E的方程；

(2)、过点 $(1 ， 0)$ 的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q，使得 $\vec{Q M} \cdot \vec{Q N}$ 的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + a e^{x} (a \in R)$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $g (x) = a (1 - x) e^{x} + x^{2}$ ，若方程 $g (x) = f (x)$ 有三个不同的解，求a的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 c o s θ$ .

(1)、将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、为解决倍立方体问题，数学家引用了蔓叶线.设M为C上的动点，M关于 $x = 1$ 的对称点为N(M、N不与原点重合)，M在x轴的射影为H，直线 $O N$ 与直线MH的交点为P，点P的轨迹就是蔓叶线.请写出P的轨迹的参数方程.

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23. 已知函数： $f (x) = | 2 x + 6 | + | 2 x - 4 | - 11$ ， $g (x) = - | x - 1 |$ .

(1)、请在图中画出 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象；

(2)、若 $g (x + t) \leq f (x)$ 恒成立，求t的取值范围.

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年龄/岁	$[10 ， 20)$	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80]$
抽取人数	10	20	25	15	18	7	5
有意向购买的人数	10	18	22	9	10	4	2

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	年龄低于40岁的人数	年龄不低于40岁的人数	总计
有意向购买冰墩墩的人数
无意向购买冰墩墩的人数
总计