天津市十二校联考2022届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-04-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | | x - 2 | < 2} ， B = {x | x^{2} - 3 x + 2 < 0}$ .则 $A \cap C_{R} B =$ （）

A、 $(0, 1] \cup [2, 4)$ B、 $(1, 2)$ C、 $\emptyset$ D、 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$

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2. “ $0 < x < 1$ ”是“ $l o g_{2} (x + 1) < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 过点 $M (3 ， 1)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 2 = 0$ 的切线 $l$ ，则 $l$ 的方程为（）

A、 $x + y - 4 = 0$ B、 $x + y - 4 = 0$ 或 $x = 3$ C、 $x - y - 2 = 0$ D、 $x - y - 2 = 0$ 或 $x = 3$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，若 $a_{2} \cdot a_{6} \cdot a_{10} = 3 \sqrt{3}$ ， $b_{1} + b_{6} + b_{11} = 7 π$ ，则 $t a n \frac{b_{2} + b_{10}}{1 - a_{3} \cdot a_{9}}$ 的值是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \sqrt{3}$

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5. 设正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别满足 $a \cdot 2^{a} = 1$ ， $b \cdot l o g_{2} b = 1$ ， $c^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{c} = 1$ 则a， $b$ ， c的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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6. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x + \sqrt{3} s i n 2 x$ ，则下列说法中，正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小值为-1 B、 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{6} + \frac{k}{2} π ， 0) ， k \in Z$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、将 $f (x)$ 的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $g (x) = 2 c o s (\frac{π}{3} - x)$

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7. 抛物线 $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F$ 重合，且相交于 $A$ ， $B$ 两点，直线AF交抛物线于另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若 $| A F | = \frac{1}{2} | F C |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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8. 已知 $2^{x} = 2 4^{y} = 3$ ，则 $\frac{3 y - x}{x y}$ 的值为（）

A、1 B、0 C、-1 D、2

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9. 在四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B = 2$ ， $A D = 5$ ， $B C = 3$ ， $∠ A = 60 °$ ，点 $E$ 在线段 $C B$ 的延长线上，且 $A E = B E$ ，点M在边CD所在直线上，则 $\vec{A M} \cdot \vec{M E}$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{71}{4}$ B、-24 C、 $- \frac{51}{4}$ D、-30

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二、填空题

10. 设 $z = \frac{1 - i}{1 + i} + 2 i$ ，则 $| z | =$ .

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11. 在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的二项展开式中， $x^{2}$ 的项的系数是.（用数字作答）

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12. 已知六棱锥 $P - A B C D E F$ 的七个顶点都在球 $O$ 的表面上，若 $P A = 2$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C D E F$ ，且六边形 $A B C D E F$ 是边长为 $1$ 的正六边形，则球 $O$ 的体积为.

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13. 若 $m > n > 0$ ，则 $m^{2} + \frac{1}{(m - n) n}$ 的最小值为.

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14. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x - 2)$ ，且当 $x \in (- 2 ， 2]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} (| x + \frac{1}{x} | - | x - \frac{1}{x} |) ， 0 < x \leq 2 \\ - \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + 1 ， - 2 < x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - | l o g_{a} x |$ ， $(a > 1)$ 在 $x \in (0 ， 5)$ 上有四个零点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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15. ①数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位数为；②数据1，5，9，12，13，19，21，23，28，36的第50百分位数是.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $a sin A = 4 b sin B$ ， $a c = \sqrt{5} (a^{2} - b^{2} - c^{2})$ .
（I）求 $cos A$ 的值；

（II）求 $sin (2 B - A)$ 的值.

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17. 菱形ABCD中， $∠ A B C = 120 °$ $E A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E A / / F D$ ， $E A = A D = 2 F D = 2$ ，

(1)、证明：直线 $F C / /$ 平面 $E A B$ ；

(2)、求二面角 $E - F C - A$ 的正弦值；

(3)、线段 $E C$ 上是否存在点 $M$ 使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ ？若存在，求 $\frac{E M}{M C}$ ；若不存在，说明理由.

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18. 已知点 $A$ ， $B$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左顶点和上顶点，F为其右焦点， $\vec{B A} \cdot \vec{B F} = 1$ ，且该椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ；

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设点 $P$ 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点 $M$ 为直线 $A P$ 与y轴的交点，线段AP的中垂线与 $x$ 轴交于点 $N$ ，若直线 $O P$ 斜率为 $k_{O P}$ ，直线 $M N$ 的斜率为 $k_{M N}$ ，且 $k_{O P} \cdot k_{M N} = - \frac{8 b^{2}}{a}$ （ $O$ 为坐标原点），求直线AP的方程.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比大于1的等比数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{3} = 7$ ，且 $a_{1} + 3$ ， $3 a_{2}$ ， $a_{3} + 4$ 成等差数列．数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $\forall n \in N^{*}$ 满足 $\frac{T_{n + 1}}{n + 1} - \frac{T_{n}}{n} = \frac{1}{2}$ ，且 $b_{1} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{2}{b_{n} \cdot b_{n + 2}} ， n 为奇数 \\ a_{n} \cdot b_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和为 $Q_{2 n}$ ；

(3)、将数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的项按照“当 $n$ 为奇数时， $a_{n}$ 放在前面；当 $n$ 为偶数时， $b_{n}$ 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $b_{3}$ ， $b_{4}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ ， $b_{5}$ ， $b_{6}$ …，求这个新数列的前 $n$ 项和 $P_{n}$ ．

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20. 已知 $f (x) = x^{2} - 4 x - 6 l n x$ ，

(1)、求 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程以及 $f (x)$ 的单调性；

(2)、对 $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ，有 $x f^{'} (x) - f (x) > x^{2} + 6 k (1 - \frac{1}{x}) - 12$ 恒成立，求 $k$ 的最大整数解；

(3)、令 $g (x) = f (x) + 4 x - (a - 6) l n x$ ，若 $g (x)$ 有两个零点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ 且 $x_{0}$ 为 $g (x)$ 的唯一的极值点，求证： $x_{1} + 3 x_{2} > 4 x_{0}$ .

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