四川省南充市2022届高考理数适应性考试（二诊）试卷

试卷更新日期：2022-04-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z = (1 + \sqrt{2} i) (\sqrt{2} - i)$ ，则 $| z | =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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2. 已知集合 $M = {x ∣ - 2 \leq x \leq 3} ， N = {x ∣ l n x \geq 1}$ ，则 $M ∩ ∁_{R} N =$ （）

A、 $[- 2 ， 0]$ B、 $[- 2 ， e)$ C、 $[- 2 ， e]$ D、 $(e ， 3]$

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3. 设 $x ､ y$ 都是实数，则“ $x > 2$ 且 $y > 3$ ”是“ $x + y > 5$ 且 $x y > 6$ ”的（）条件

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充要 D、既非充分也非必要

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4. 在Rt $△ A B C$ 中，两直角边 $A B = 6 ， A C = 4$ ，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， A C$ 的中点，则 $(\vec{B F} + \vec{C E}) \cdot \vec{B C} =$ （）

A、-10 B、-20 C、10 D、20

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5. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} < 0 ， S_{9} = S_{16}$ ，则（）

A、 $d < 0$ B、 $S_{n}$ 的最小值为 $S_{25}$ C、 $a_{13} = 0$ D、满足 $S_{n} > 0$ 的最大自然数 $n$ 的值为25

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6. 若双曲线 $C ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线被圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 所截得的弦长为2，则 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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7. 我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破性进展，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过30的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（）

A、 $\frac{3}{56}$ B、 $\frac{3}{28}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{3}{14}$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $x - y + \sqrt{2} = 0$ 与椭圆 $C$ 相交于不同的两点 $A ， B$ ，若 $P$ 为线段 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点，直线 $O P$ 的斜率为 $- \frac{1}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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9. 托勒密是古希腊天文学家､地理学家､数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形 $A B C D$ 的四个顶点在同一个圆的圆周上， $A C ， B D$ 是其两条对角线， $B D = 12$ ，且 $△ A C D$ 为正三角形，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $9 \sqrt{3}$ B、 $18 \sqrt{3}$ C、 $24 \sqrt{3}$ D、 $36 \sqrt{3}$

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10. 如图，棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $A_{1} C$ 上的动点，点 $M ， N$ 分别为线段 $A_{1} C_{1} ， C C_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、 $A_{1} P ⊥ B C_{1}$ B、三棱锥 $P - B_{1} N M$ 的体积为定值 C、 $∠ A P D_{1} \in [\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ D、 $A P + D_{1} P$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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11. 函数 $f (x) = A s i n (2 x + θ) (| θ | \leq \frac{π}{2} ， A > 0)$ 的部分图像如图所示，且 $f (a) = f (b) = 0$ ，对不同的 $x_{1} ， x_{2} \in [a ， b]$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，有 $f (x_{1} + x_{2}) = \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{12} ， \frac{7 π}{12})$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6})$ 上是单调递增

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12. 已知函数 $f (x) = x e^{x} ， g (x) = x l n x$ ，若 $f (m) = g (n) = t (t > 0)$ ，则 $m n \cdot l n t$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ D、 $[- \frac{1}{e} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} 0 \leq x \leq 2 ， \\ y \geq 0 ， \\ x + y \leq 2 ， \end{array}$ 则 $z = x + 2 y$ 的最大值为.

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14. 已知 $F$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点， $P$ 是 $C$ 上一点， $O$ 为坐标原点，若 $| P F | = 5$ ，则 $| O P | =$ .

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15. 若等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{1010} \cdot a_{1013} + a_{1011} \cdot a_{1012} = 2 e^{2}$ ，则 $l n a_{1} + l n a_{2} + ⋯ ⋯ + l n a_{2022} =$ .

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 \sqrt{3} ， M ， N$ 为体对角线 $B D_{1}$ 的三等分点，动点 $P$ 在三角形 $A C B_{1}$ 内，且三角形 $P M N$ 的面积 $S_{△ P M N} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为.

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三、解答题

17. 在① $b c o s (\frac{π}{2} - C) = \sqrt{3} c c o s B$ ；② $2 S_{△ A B C} = \sqrt{3} \vec{B A} \cdot \vec{B C}$ ；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.
问题：在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且____.

(1)、求角 $B$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 某公司招聘员工，应聘者需进行笔试和面试.笔试分为三个环节，每个环节都必须参与.应聘者甲笔试部分每个环节通过的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；应聘者甲面试通过的概率为 $\frac{3}{4}$ .若笔试，面试都通过，则可以成为该公司的正式员工，各个环节相互独立.

(1)、求应聘者甲未能参与面试的概率；

(2)、记应聘者甲本次应聘通过的环节数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列以及数学期望；

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19. 如图所示，四边形 $A B C D$ 为菱形， $P A = P D$ ，二面角 $P - A D - C$ 为直二面角，点 $E$ 是棱 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $P E ⊥ A C$ ；

(2)、若 $P A = A B$ ，当二面角 $P - A C - B$ 的正切值为 $- 2$ 时，求直线 $P E$ 与平面 $A B C D$ 所成的角.

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20. 如图所示，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B ， O$ 为坐标原点， $S_{△ O A B} = \sqrt{3}$ .椭圆离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过椭圆左焦点 $F_{1}$ 作不与 $x$ 轴重合的直线，与椭圆 $C$ 相交于 $M ， N$ 两点.直线 $l$ 的方程为： $x = - 2 a$ ，过点 $M$ 作 $l$ 垂线，垂足为 $E$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、①求证：直线 $E N$ 过定点，并求定点的坐标；
②求 $△ O E N$ 面积的最大值.

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21. 已知 $f (x) = a l n x - x \cdot l n x (a > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 的切线方程；

(2)、求证： $f (x)$ 仅有一个极值；

(3)、若存在 $a$ ，使 $f (x) \leq a + b$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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22. 已知圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} + 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{array}$ ( $θ$ 为参数 $)$ .

(1)、以原点 $O$ 为极点､ $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、已知直线 $l$ 经过原点 $O$ ，倾斜角 $α = \frac{π}{3}$ ，设 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $O$ 到 $A ， B$ 两点的距离之积.

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23. 已知函数 $y = f (x) = | x - \frac{1}{4} | + | x + \frac{7}{4} |$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq a$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $[f (x)]_{m i n} = t ， m > 0 ， n > 0$ ，且 $m + 2 n = 2$ .求证： $\sqrt{m + 1} + \sqrt{2 n + 1} \leq 2 \sqrt{t}$

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