四川省凉山州2022届高三理数第二次诊断性检测试卷

试卷更新日期：2022-04-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 2 ， x \in N}$ ， $B = {1}$ ，则 $∁_{A} B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 1 或 1 < x \leq 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 2}$ C、 ${0 ， 2}$ D、{2}

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2. i为虚数单位，则 $\frac{i^{2}}{i^{4} + i} =$ （）

A、 $\frac{- 1 - i}{2}$ B、 $\frac{- 1 + i}{2}$ C、 $\frac{1 + i}{2}$ D、 $\frac{1 - i}{2}$

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3. ${(\frac{1}{2} x - 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数是（）

A、－20 B、－5 C、5 D、20

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4. 在独立性检测中，我们常用随机变量 $K^{2}$ 来判断“两个分类变量有关系”. $K^{2}$ 越大关系越强； $K^{2}$ 越小关系越弱.（附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ）下面有甲乙丙丁四组关于“秃顶与患心脏病的列联表”（单位：人）
甲：

患心脏病
患其他病
总计
秃顶
30
20
50
不秃顶
50
100
150
总计
80
120
200
乙：

患心脏病
患其他病
总计
秃顶
25
55
80
不秃顶
25
95
120
总计
50
150
200
丙：

患心脏病
患其他病
总计
秃顶
85
65
150
不秃顶
35
15
50
总计
120
80
200
丁：

患心脏病
患其他病
总计
秃顶
88
32
120
不秃顶
62
18
80
总计
150
50
200
最能说明秃顶与患心脏病有关的一组数据是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{6} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、离心率为2 B、渐近线方程为 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ C、焦距为 $2 \sqrt{2}$ D、焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$

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6. 正项等比数列 ${a_{n}}$ 与正项等差数列 ${b_{n}}$ ，若 $a_{1} a_{5} = b_{5} b_{7}$ ，则 $a_{3}$ 与 $b_{6}$ 的关系是（）

A、 $a_{3} = b_{6}$ B、 $a_{3} \geq b_{6}$ C、 $a_{3} \leq b_{6}$ D、以上都不正确

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7. 抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，直线 $l ： y = x + \frac{3 p}{2}$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ （左侧为 $A$ ，右侧为 $B$ ）两点，若抛物线 $C$ 在点 $A$ 处的切线经过点 $N (3 ， - 6)$ ，则 $p =$ （）

A、24 B、12 C、8 D、6

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8. 将函数 $y = s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$ 的图象沿水平方向平移 $| φ |$ 个单位后得到的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称（ $φ > 0$ 向左移动， $φ < 0$ 向右移动），当 $| φ |$ 最小时，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{12}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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9. 如图所示，在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，三棱锥 $O - A B C$ 各个顶点的坐标分别为 $O (0 ， 0 ， 0)$ ， $A (4 ， 0 ， 2)$ ， $B (2 ， 4 ， 4)$ ， $C (0 ， 0 ， 3)$ ，则该三棱锥侧视图的面积为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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10. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + 2) = f (- x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = x$ ，则 $f (x) ≥ \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ C、 $[4 k + \frac{1}{2} ， 4 k + \frac{3}{2}] (k \in Z)$ D、 $[2 k + \frac{1}{2} ， 2 k + \frac{3}{2}] (k \in Z)$

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11. 在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为 $a_{n}$ ，则下列结论正确的是（）（参考数据： $1 . 2^{11} \approx 7.5$ ， $1 . 2^{12} \approx 9$ ）
① $a_{1} = 12000$ ② $a_{n + 1} = 1.2 a_{n} - 1000$ ③2020年小王的年利润约为40000元④两年后，小王手中现款约达41万

A、②③④ B、②④ C、①②④ D、②③

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12. 已知 $a = 4 + \frac{2}{5} l n 2$ ， $b = 2 + 2^{1.2}$ ， $c = 2^{2.1}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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二、填空题

13. 平面区域 $Ω ： {\begin{array}{l} x + y - 7 \leq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $Ω$ 的面积为.

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14. 函数 $f (x) = l n (x + \frac{3}{2}) + x^{2}$ 的极大值点为.

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15. 甲､乙､丙三人去图书馆借书，他们每人借的不是杂志就是小说（每人只能借其中一种）.
（1）如果甲借的是杂志，那么乙借的就是小说.
（2）甲或丙借的是杂志，但是不会两人都借杂志.
（3）乙和丙不会两人都借小说.
则同时满足上述三个条件的不同借书方案有种.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $s i n B = 2 s i n C$ ， $B C = 2$ .则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的取值范围为.（结果用区间表示）

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三、解答题

17. $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ， $(s i n B - s i n C) (b - c) = a s i n A - b s i n C$ .

(1)、求角A；

(2)、若D为边BC的中点，且 $A D = 1$ ，求 $c + b$ 的最大值.

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18. 四川省凉山州各种特产､小吃尤其丰富，凉山州会理市羊肉粉早在清代中叶就名扬遐迩.凡来会理市品尝过会理市羊肉粉的人，无不交口称赞.尤其在冬季，吃一碗滚烫的羊肉粉，浑身暖和.羊肉粉的主要原料是羊肉和米粉.制作有特殊的讲究，要选择山坡放养，体重在八九十斤左右的黑山羊宰杀，将羊头､羊腿､羊蹄､羊油､羊下水全部放进能装一､两百斤的大铁锅，掺上几里路运来优质山泉水，加上老姜､花椒､胡椒､白扣，等佐料，先要猛火烧开，用漏瓢捞出汤上面的泡沫，再用中火慢慢炖，时间达六､七个小时熬制呈乳白色米汤一样的原汤；羊肉粉的米线，是用会理农村本地产的稻谷蹍大米制作出来，韧性好，饭粒不生硬，入口柔和，口味有大米的天然芳香；米粉要经过特殊处理：将水烧开，放入米粉，烧开捞起，放入冷水里（不停换水，直至冷却）.会理市某羊肉粉店每天早晨处理好当天的米粉，以12元/碗的价格售出，每碗获利5元，当天卖不出的米粉则每碗亏损2元.该店记录了30天的日需求量（单位：碗），整理如下表：
日需求量
80
90
100
110
频数
5
10
7
8

(1)、以样本估计总体，求该店米粉日需求量不少于100碗的概率；

(2)、以30天记录的日需求量的频率为概率，该店每天准备90碗米粉，记该店连续3天获得的利润和为 $Y$ （单位：元），求 $Y$ 的分布列.

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19. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F ， G ， H$ 分别是所在棱的中点.设平面 $D G F$ 与平面 $D E H$ 相交于直线 $l$ .

(1)、求证： $l / / H E$ ；

(2)、求二面角 $E - l - F$ 的余弦值.

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20. 如图， $P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ 为椭圆上的三点， $P_{3}$ 为椭圆的上顶点， $P_{1}$ 与 $P_{2}$ 关于 $y$ 轴对称，椭圆的左焦点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ，且 $P_{1} F_{1} + P_{2} F_{1} + P_{3} F_{1} = 6$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过椭圆的右焦点 $F_{2}$ 且与 $x$ 轴不重合的直线交椭圆于 $A ， B$ 两点， $M$ 为椭圆的右顶点，连接 $M A ， M B$ 分别交直线 $x = 4$ 于 $P ， Q$ 两点.试判断 $A Q ， B P$ 的交点是否为定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.

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21. 设函数 $f (x) = x - a l n x - 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、 $a = 1$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，当 $x > 1$ 时， $l n x + 1 > (1 + k) f^{'} (x)$ ，求整数 $k$ 的最大值.

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22. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{3} t}{\sqrt{1 + t^{2}}} \\ y = \frac{1}{\sqrt{1 + t^{2}}} \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ + \frac{π}{4}) = 3 \sqrt{2}$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程与曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、求曲线 $C_{1}$ 上的动点到曲线 $C_{2}$ 距离的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = 3 | x - 1 | + | x - 2 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \geq 6$ 的解集；

(2)、已知 $f (x) \geq 2 m^{2} - m$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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	患心脏病	患其他病	总计
秃顶	30	20	50
不秃顶	50	100	150
总计	80	120	200

日需求量	80	90	100	110
频数	5	10	7	8