四川省广安市2022届高三理数第二次诊断考试试卷

试卷更新日期：2022-04-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = x^{2} - 2}$ ， $B = {- 4 ， - 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 4 ， - 3 ， - 2 ， - 1}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知复数 $z = 3 + 4 i$ ，则 $| z | + \frac{z}{i} =$ （）

A、 $29 - 3 i$ B、 $21 + 3 i$ C、 $9 - 3 i$ D、 $1 + 3 i$

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3. 已知 $s i n α + c o s α = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $s i n (α - \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、 $\pm \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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4. $(x - \frac{1}{x}) {(x - 2)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数为（）

A、120 B、40 C、-40 D、-80

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5. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别是棱 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线 $F C_{1}$ 能与AE平行；②直线 $A C_{1}$ 与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面A₁B₁C₁D₁相交于点P，Q，则点 $C_{1}$ 可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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6. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{5} = - 18$ ， $S_{9} = - 72$ ，则 $S_{n}$ 取最小值时， $n$ 的值为（）

A、19 B、20 C、21 D、20或21

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7. 已知直线 $x + y + 1 = 0$ 与 $x + 2 y + 1 = 0$ 相交于点 $A$ ，过 $A$ 点的直线 $l$ 与圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} + 4 x = 0$ 相交于点 $B$ ， $C$ ，且 $∠ B M C = 120 °$ ，则满足条件的直线 $l$ 的条数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 函数 $f (x) = \frac{2 x^{2}}{e^{x} + e^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知抛物线 $C$ 以坐标原点 $O$ 为顶点，以 $(\frac{p}{2} ， 0)$ 为焦点，过 $(2 p ， 0)$ 的直线与抛物线 $C$ 交于两点 $A$ ， $B$ ，直线 $A B$ 上的点 $M (1 ， 1)$ 满足 $O M ⊥ A B$ ，则 $| O M | \cdot | A B | =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{5}$ C、40 D、80

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10. 2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求．在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（●）、跳台滑雪（）、自由滑雪（）、雪车（）这6个项目随机选择3个比赛项目现象观察（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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11. 已知双曲线 $C$ 的一条渐近线为直线 $\sqrt{3} x - y = 0$ ， $C$ 的右顶点坐标为 $(1 ， 0)$ ．若点 $M (x_{M} ， y_{M})$ 是双曲线 $C$ 右支上的动点，点 $A$ 的坐标为 $(3 ， 5)$ ，则 $| M A | + 2 x_{M}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{26} - 1$ B、 $\sqrt{26}$ C、 $\sqrt{26} + 1$ D、 $\sqrt{26} + 2$

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12. 设 $a = \frac{1}{50}$ ， $b = 2 l n (s i n \frac{1}{100} + c o s \frac{1}{100})$ ， $c = \frac{6}{5} l n \frac{51}{50}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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二、填空题

13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，两直角边 $C A = 3$ ， $C B = 6$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为斜边 $A B$ 的三等分点，则 $\vec{C E} \cdot \vec{C F} =$ ．

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14. 函数 $y = s i n (2 x + φ)$ （ $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ）的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 后所得函数图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ =$ ．

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15. 造纸术是我国古代四大发明之一，现在我国纸张的规格采用国际标准，常用的 $A_{4}$ 复印纸是幅面采用A系列的 $A_{0}$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{10}$ 规格的一种．其中A系列的幅面规格为：① $A_{0}$ 规格的纸张的幅宽（用 $x$ 表示）和长度（用 $y$ 表示）的比例关系是 $x ： y = 1 ： \sqrt{2}$ ；②将 $A_{0}$ 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 $A_{1}$ 规格．将 $A_{1}$ 纸张沿长度方向对开成两等分，便成 $A_{2}$ 规格．……，如此继续对开，得到一张 $A_{4}$ 纸的面积为 $624 c m^{2}$ ，则一张 $A_{0}$ 纸的面积为 $c m^{2}$ ．

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16. 已知 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在同一个球面上，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B C D$ 是边长为2的正方形， $∠ A P B = 60 °$ ，当四棱锥 $P - A B C D$ 的体积最大时，该球的半径为．

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三、解答题

17. 某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现对2012年以来的乡村经济收入 $y$ （单位：亿元）进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其中年份代码 $x$ 的值1—10分别对应2012年至2021年．
参考数据： $t_{i} = \sqrt{x_{i}}$ ， $\bar{t} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} t_{i}$ ， $\sqrt{13} \approx 3.605$ ， $\sqrt{14} \approx 3.742$ ， $\sqrt{15} \approx 3.873$
$\bar{y}$
$\bar{t}$
$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{10} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (x_{i} - \bar{x})$
$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (t_{i} - \bar{t})$
72.65
2.25
126.25
4.52
235.48
49.16
参考公式：对于一组数据 $(t_{1} ， y_{1})$ ， $(t_{2} ， y_{2})$ ， …， $(t_{n} ， y_{n})$ ，回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} t$ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ ．

(1)、若用模型① $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ， ② $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} \sqrt{x}$ 拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，其相关系数分别为 $r_{1} = 0.8519$ ， $r_{2} = 0.9901$ ，试判断哪个模型的拟合效果更好？

(2)、根据（1）中拟合效果更好的模型，求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程（系数精确到0.01），并估计该县2025年的乡村经济收入（精确到0.01）．

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18. 已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} s i n \frac{x}{2} ， 1)$ ， $\vec{n} = (c o s \frac{x}{2} ， s i n^{2} \frac{x}{2})$ ，设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且_________，求 $f (B)$ 的取值范围．
从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．

① $\frac{\sqrt{3} c}{a c o s B} + t a n A + t a n B = 0$ ；② $(2 c + b) c o s A + a c o s B = 0$ ；③ $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．

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19. 如图（1），已知 $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形，点 $M$ ， $N$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上， $M N / / B C$ ， $O$ 是线段 $M N$ 的中点．将 $△ A M N$ 沿直线 $M N$ 进行翻折， $A$ 翻折到点 $P$ ，使得二面角 $P - M N - B$ 是直二面角，如图（2）．

(1)、若 $B M ⊥$ 平面 $P O C$ ，求 $M N$ 的长；

(2)、求二面角 $N - P M - B$ 的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是椭圆 $C$ 上第一象限内的点，直线 $l$ 过点 $P$ 且与椭圆 $C$ 有且仅有一个公共点．
①求直线 $l$ 的方程（用 $x_{0}$ ， $y_{0}$ ）表示；
②设 $O$ 为坐标原点，直线 $l$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴相交于点 $M$ ， $N$ ，试探究 $△ M O N$ 的面积是否存在最小值．若存在，求出最小值及相应的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = a l n x + e^{x} - 2 e x + a e$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a$ 为整数，当 $x \geq \frac{1}{2}$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的最小值．

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22. 在平面直角坐标系中，已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t c o s α ， \\ y = t s i n α \end{array}$ ( $t$ 为参数)，曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} + 8 y + 7 = 0$ ．以坐标原点 $O$ 的极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求直线 $l$ 及曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，满足 $| | O M | - | O N | | = 2 \sqrt{5}$ ，求直线 $l$ 的斜率．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 - x | + 2 | x + 1 |$ ．

(1)、若存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) \leq 4 - a^{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、令 $f (x)$ 的最小值为 $M$ ．若正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = M$ ，求证： $a + b + c \geq 12$ ．

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$\bar{y}$	$\bar{t}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (x_{i} - \bar{x})$	$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (t_{i} - \bar{t})$
72.65	2.25	126.25	4.52	235.48	49.16