四川省成都市2022届高三理数第二次诊断性检测试卷

试卷更新日期：2022-04-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知i为虚数单位，则 $i^{3} \cdot (1 + i) =$ （）

A、1+i B、1－i C、－1+i D、－1－i

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2. 设集合 $A = {x \in N^{*} | x < 3}$ ．若集合 $B$ 满足 $A ∪ B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则满足条件的集合 $B$ 的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是直径为2的圆．则该几何体的表面积为（）

A、3π B、2π C、 $\sqrt{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$

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4. $(1 - 2 x)^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、-160 B、160 C、-80 D、80

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5. 在区间（－2，4）内随机取一个数x，使得不等式 $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 < 0$ 成立的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 设经过点 $F (1 ， 0)$ 的直线与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相交于 $A ， B$ 两点，若线段 $A B$ 中点的横坐标为 $2$ ，则 $| A B | =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1} = \frac{1}{4}$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + a_{n} + \frac{1}{2}$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、10 B、20 C、100 D、400

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8. 若曲线 $y = l n x + x^{2} + 1$ 在点（1，2）处的切线与直线 $a x + y - 1 = 0$ 平行，则实数a的值为（）

A、－4 B、－3 C、4 D、3

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9. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} > 0$ ，则“ $a_{2} > a_{3}$ ”是“ $a_{3} > a_{6}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 $v$ （单位： $k m / s$ ）与燃料的质量 $M$ （单位： $k g$ ），火箭（除燃料外）的质量 $m$ （单位： $k g$ ）的函数关系是 $v = 2000 l n (1 + \frac{M}{m})$ ．当燃料质量与火箭质量的比值为 $t_{0}$ 时，火箭的最大速度可达到 $v_{0} k m / s$ ．若要使火箭的最大速度达到 $2 v_{0} k m / s$ ，则燃料质量与火箭质量的比值应为（）

A、 $2 t_{0}^{2}$ B、 $t_{0}^{2} + t_{0}$ C、 $2 t_{0}$ D、 $t_{0}^{2} + 2 t_{0}$

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11. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D ， P A = 6 ， A B = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ .若 $E ， F$ 分别为 $A B ， P D$ 的中点，经过 $C ， E ， F$ 三点的平面与侧棱 $P A$ 相交于点 $G$ .若四棱锥 $G - A B C D$ 的顶点均在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的半径为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、2

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12. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .若 $c = 1 ， 4 a^{2} c o s^{2} B + 4 b^{2} s i n^{2} A = 3 b^{2} - 3$ ，则 $t a n A$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$

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二、填空题

13. 某区域有大型城市18个，中型城市12个，小型城市6个．为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取6个城市进行调查，则应抽取的大型城市的个数为．

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14. 已知 $R t △ A B C$ 中，∠C＝90°，BC＝2，D为AC边上的动点，则 $\vec{B D} \cdot \vec{B C} =$ ．

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15. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ .则函数 $g (x) = f (x) - {(\frac{x - 2}{10})}^{3}$ 的所有零点之和为.

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16. 已知 $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，经过 $F_{2}$ 作直线 $l$ 与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为 $A$ ，直线 $l$ 与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为 $B$ ．若 $| A F_{2} | = \frac{1}{3} | B F_{2} |$ ，则双曲线的离心率为．

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三、解答题

17. 某中学为研究课外阅读时长对语文成绩的影响，随机调查了50名学生某阶段每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：
平均时长（单位：分钟）
（0，20]
（20，40]
（40，60]
（60，80]
人数
9
21
15
5
语文成绩优秀人数
3
9
10
3

(1)、估算该阶段这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、若从课外阅读平均时长在区间（60，80]的学生中随机选取3名进行研究，求所选3名学生中至少有2名语文成绩优秀的学生的概率．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + s i n^{2} ω x$ ，其中 $0 < ω < 6$ ，且 $f (\frac{π}{12}) = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $θ \in (\frac{π}{12} ， \frac{π}{6})$ ，且 $f (θ) = \frac{5}{6}$ ，求 $s i n 2 θ$ 的值．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A A_{1} = 3$ ， $A B = A C$ ， $B C = 2$ ， D为 $B C$ 的中点，点F在棱 $B B_{1}$ 上，且 $B F = 2$ ， E为线段 $A D$ 上的动点.

(1)、证明： $C_{1} F ⊥ E F$ ；

(2)、若直线 $C_{1} D$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{6}$ ，求二面角 $E - F C_{1} - D$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，其右顶点为 $A (2 ， 0)$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为 $\frac{1}{20}$ .求 $△ A P Q$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - 2 a x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，当 $x_{1} + x_{2} \in [3 l n 2 - 4 ， \frac{5 - 3 e}{e - 1}]$ 时，求 $\frac{x_{2} + 2}{x_{1} + 2}$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的方程为 ${(x - 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 1$ ．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = α (ρ \in R)$ ，其中 $α$ 为常数且 $α \in [0 ， π)$ ．

(1)、求直线 $l$ 的普通方程与曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $\frac{1}{| O A |} + \frac{1}{| O B |}$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 4 a x + a^{2}} - | 2 x - 3 a |$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若对 $\forall m ， n \in (0 ， + \infty)$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (x) < \frac{1}{m} + \frac{1}{n + 2}$ 恒成立，当 $m + n = 6$ 时，求 $a$ 的取值范围．

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平均时长（单位：分钟）	（0，20]	（20，40]	（40，60]	（60，80]
人数	9	21	15	5
语文成绩优秀人数	3	9	10	3