浙教版备考2022年中考数学二轮复习训练题12：最值问题

试卷更新日期：2022-03-31 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知x，y为实数，且满足 $x^{2} - x y + 4 y^{2} = 4$ ，记 $u = x^{2} + x y + 4 y^{2}$ 的最大值为M，最小值为m，则 $M + m =$ （）.

A、 $\frac{40}{3}$ B、 $\frac{64}{15}$ C、 $\frac{136}{15}$ D、 $\frac{31}{5}$

查看试题解析
2. 已知抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），对称轴为l：x＝1，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂）（x₁＜x₂），则|x₁﹣x₂|最小值为（）

A、4 B、4 $\sqrt{3}$ C、2 D、2 $\sqrt{3}$

查看试题解析
3. 直角坐标系 $x o y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k b \neq 0)$ 的图象过点 $(2 ， k b)$ ，且 $b \geq 4$ ，与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点.设 $△ A B O$ 的面积为 $S$ ，则 $S$ 的最小值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

查看试题解析
4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + 3 x - 4$ 的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则 $P Q + \frac{\sqrt{2}}{2} P C$ 的最小值是（）

A、6 B、 $2 + \frac{3}{2} \sqrt{2}$ C、 $2 + 3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

查看试题解析
5. 如图，已知二次函数y＝﹣ $\frac{5}{4}$ （x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则 $\frac{A P}{P K}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、2 C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

查看试题解析
6. 如图，已知直线y $= \frac{3}{4}$ x﹣3与x轴、y轴分别交于 A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是（）

A、8 B、12 C、 $\frac{21}{2}$ D、 $\frac{17}{2}$

查看试题解析
7. 如图， $R t △ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ ， $E$ 为 $A B$ ， $A C$ 边上的两个动点，且 $D E = 6$ ， $F$ 为 $D E$ 中点，则 $\frac{1}{2} B F + C F$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、 $\sqrt{73}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5} + 10}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{265}}{2}$

查看试题解析
8. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， B C = 6 ， A D ⊥ B C$ 于点 $D ， A D = 4 ， P$ 是半径为2的 $⊙ A$ 上一动点，连结 $P C$ ，若 $E$ 是 $P C$ 的中点，连结 $D E$ ，则 $D E$ 长的最大值为（）

A、3 B、 $3.5$ C、4 D、 $4.5$

查看试题解析
9. 如图， $O$ 是 $△ A B C$ 的重心，过 $O$ 的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与 $△ A B C$ 的顶点重合）， $S_{四边形 B C H G}$ ， $S_{△ A G H}$ 分别表示四边形 $B C H G$ 和 $△ A G H$ 的面积，则 $\frac{S_{四边形 B C H G}}{S_{△ A G H}}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在△ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP = 6，则PC的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3$ C、 $3 \sqrt{5} - 3$ D、 $3 \sqrt{2}$

查看试题解析

二、填空题

11. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(- 2 ， - 2)$ ， $(6 ， - 2)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点 $P$ 在线段 $A B$ 上，与 $x$ 轴相交于 $C$ ， $D$ 两点，设点 $C$ ， $D$ 的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .若 $x_{1}$ 是-1，则 $x_{2}$ 的最大值是.

查看试题解析
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{3}{4} x+3$ 交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线 $y {=-x}^{2} +2x+1$ 与y轴交于C点，若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE+EF的最小值为.

查看试题解析
13. 如图，已知AB为⊙O的直径，BC，CD是⊙O的切线，切点分别为点B，D，点E为AB上的一个动点，连结CE，DE．若AB=2 $\sqrt{5}$ ，BC=2，则CE+DE的最小值是．

查看试题解析
14. 如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是.

查看试题解析
15. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是.

查看试题解析
16. 如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为 $\overset{⌢}{B C}$ 上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿 $\overset{⌢}{B C}$ 运动到点C时，线段AE的最大值是．

查看试题解析

三、解答题

17. 如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} (a > 0)$ 与直线 $y = x$ 相交于点O和点A ， $O A$ 截得的抛物线弓形的曲线上有一点P ．

（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，解答下列问题：

①求A点的坐标；

②连接 $O P$ ， $A P$ ，求 $△ O P A$ 面积的最大值；

③当 $△ O P A$ 的面积最大时，直线 $O P$ 也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点 $P^{'}$ ，连接 $O P^{'}$ ， $P^{'} P$ ，当 $△ O P^{'} P$ 的面积最大时，求这个 $△ O P^{'} P$ 的最大面积与②中 $△ O P A$ 的最大面积的比值；

（Ⅱ）将（Ⅰ）中 $a = 1$ 的条件去掉后，其它条件不变，则 $△ O P^{'} P$ 的最大面积与 $△ O P A$ 的最大面积的比值是否变化？请说明理由．

查看试题解析
18. 如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为原点，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ （ $b$ ， $c$ 为常数），经过点 $A (- 4 ， 0)$ 和点 $B (0 ， - 2)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线上是否存在一点 $P$ ，使 $S_{△ P A B} = S_{△ O A B}$ ？若存在，请求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、点 $M$ 为直线 $A B$ 下方抛物线上一点，点 $N$ 为 $y$ 轴上一点，当 $△ M A B$ 的面积最大时，直接写出 $2 M N + O N$ 的最小值．

查看试题解析

四、综合题

19. 如图，在平面直角坐标系中， $A (- 1 ， 0)$ ， $B (0 ， 3)$ ，直线 $y = - \frac{1}{3} x + 1$ 与x轴相交于点C，与直线AB交于点D，交y轴于点E.

(1)、求直线AB的解析式及点D的坐标；

(2)、如图2，H是直线AB上位于第一象限内的一点，连接HC，当 $S_{△ H C D} = \frac{72}{5}$ 时，点M、N为y轴上两动点，点M在点N的上方，且 $M N = \frac{6}{5}$ ，连接HM、NC，求 $H M + M N + N C$ 的最小值；

(3)、将△OEC 绕平面内某点转90°，旋转后的三角形记为 $△ O^{'} E^{'} C^{'}$ ，若点 $E^{'}$ 落在直线AB上，点 $O^{'}$ 落在直线CD上，请直接写出满足条件的点 $E^{'}$ 的坐标.

查看试题解析
20. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 为 $C B$ 延长线上一点，连接 $A P$ ．

图3

(1)、如图1，连接 $P D$ ，若 $∠ P D C = 60 °$ ， $A D = 4$ ，求 $\tan ∠ A P B$ 的值；

(2)、如图2，点 $F$ 在 $D C$ 上，连接 $A F$ ．作 $∠ A P B$ 的平分线 $P E$ 交 $A F$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ 、 $C E$ ，若 $∠ A P B = 60 °$ ， $P A + P C = \sqrt{3} P E$ ．求证： $D E$ 平分 $∠ A D F$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，点 $Q$ 为 $A P$ 的中点，点 $M$ 为平面内一动点，且 $A Q = M Q$ ，连接 $P M$ ，以 $P M$ 为边长作等边 $△ P M M^{'}$ ，若 $B P = 2$ ，直接写出 $B M^{'}$ 的最小值．

查看试题解析
21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a c \neq 0)$ 与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.若线段 $O A 、 O B 、 O C$ 的长满足 $O C^{2} = O A \cdot O B$ ，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C.且 $O A = 4 O B$

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若P为 $A C$ 上方抛物线上的动点，过点P作 $P D ⊥ A C$ ，垂足为D.
①求 $P D$ 的最大值；

②连接 $P C$ ，当 $△ P C D$ 与 $△ A C O$ 相似时，求点P的坐标.

查看试题解析
22. 如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．

(1)、求证：OC∥AD；

(2)、如图2，若DE＝DF，求 $\frac{A E}{A F}$ 的值；

(3)、当四边形ABCD的周长取最大值时，求 $\frac{D E}{D F}$ 的值．

查看试题解析
23. 如图1，ABCD是边长为4的正方形，以B为圆心的⊙B与BC，BA分别交于点E，F，还接EF，且EF＝4．

(1)、求BE的长；

(2)、在平面内将图1中△BEF绕点B顺时针旋转360°，在旋转的过程中，
①求∠CDE的取值范围；
②如图2，取DE的中点G，连接CG并延长交直线DF于点H，点P为正方形内一动点，试求PH+PA+PB的最小值．

查看试题解析
24. 如图1，AB是⊙O的直径，且AB=8，过点B作⊙O的切线，C是切线上一点，连接AC交⊙O于点D，连接BD，点E是 $\overset{⌢}{A D}$ 的中点，连接BE交AC于点F.

(1)、比较大小：∠CBD∠CAB（填“＜”、“=”、“＞”中的一个）；

(2)、求证：CB=CF；

(3)、若AF=4，求CB的值；

(4)、在图1的基础上，作∠ADB的平分线交BE于点I，交⊙O于点G，连接OI（如图2）写出OI的最小值，并说明理由.

查看试题解析