2022年中考数学二轮专题复习-分式方程、一元二次方程

试卷更新日期：2022-03-31 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 下列方程属于一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + y - 2 = 0$ B、 $x + y = 3$ C、 $x^{2} - x = 3$ D、 $2 x + \frac{1}{x} = 5$

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2. 某工厂生产空气净化器，实际平均每天比原计划多生产100台空气净化器，实际生产1200台空气净化器的时间与原计划生产900台空气净化器所需时间相同．若设原计划每天生产 $x$ 台空气净化器，则根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{1200}{x + 100} = \frac{900}{x}$ B、 $\frac{1200}{x - 100} - \frac{900}{x} = 0$ C、 $\frac{900}{x + 100} = \frac{1200}{x}$ D、 $\frac{1200}{x} - \frac{900}{x} = 100$

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3. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 a x + b = 0$ 的两个根，且 $x_{1} + x_{2} = 3 ， x_{1} \cdot x_{2} = 1$ ，则a，b的值分别是（）

A、 $a = - 3 ， b = 1$ B、 $a = 3 ， b = 1$ C、 $a = - \frac{3}{2} ， b = - 1$ D、 $a = - \frac{3}{2} ， b = 1$

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4. $x = \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} + 4 \times 2 \times 3}}{2 \times 2}$ 是下列哪个一元二次方程的根（）

A、 $2 x^{2} + 7 x + 3 = 0$ B、 $2 x^{2} - 7 x - 3 = 0$ C、 $2 x^{2} + 7 x - 3 = 0$ D、 $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$

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5. 如果关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} m - 4 x > 4 \\ x - \frac{11}{2} < 3 (x + \frac{1}{2}) \end{array}$ 有且仅有三个整数解，且关于x的分式方程 $\frac{2 - m x}{2 - x} - \frac{6}{x - 2} = 1$ 有非负数解，则符合条件的所有整数m的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 某农机厂4月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂第二季度平均每月的增长率为x：，那么x满足的方程是（）

A、 $50 {(1 + x)}^{2} = 182$ B、 $50 + 50 (1 + x) + 50 {(1 + x)}^{2} = 182$ C、 $50 (1 + x) + 50 {(1 + x)}^{2} = 182$ D、 $50 + 50 (1 + x) = 182$

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7. 关于x的一元二次方程x²+mx+3＝0有两个实数根x₁＝1，x₂＝n，则代数式（m+n）²⁰²⁰的值为（）

A、1 B、0 C、3²⁰²⁰ D、7²⁰²⁰

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8. 关于x的方程 $\frac{m - 1}{x - 1} + \frac{x}{1 - x} = 0$ 有增根，则m的值是（）

A、2 B、1 C、0 D、-1

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9. 以下是小明同学解方程 $\frac{1 + x}{x - 3} = \frac{2}{3 - x} - 1$ 的过程：解：方程两边同时乘以 $(x - 3)$ ，
得 $1 + x = - 2 -$ $(x - 3)$ ，第一步

即x十x=-2＋1+3，第二步

解得x=1，第三步

检验：当x=1时，x-3=1-3≠0.

所以原方程的解是x=1.第四步

针对以上解题过程，下列说法正确的是（）

A、从第一步开始有错 B、从第二步开始有错 C、从第三步开始有错 D、完全正确

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10. 一个三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 $x^{2} - 16 x + 60 - 0$ 的一个实数根，则该三角形的面积是（）

A、24 B、24或 $8 \sqrt{5}$ C、48 D、 $8 \sqrt{5}$

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11. 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛，7班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍.若设荧光棒的单价为工元，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{40}{1.5 x} - \frac{30}{x} = 20$ B、 $\frac{40}{x} - \frac{30}{1.5 x} = 20$ C、 $\frac{30}{x} - \frac{40}{1.5 x} = 20$ D、 $\frac{30}{1.5 x} - \frac{40}{x} = 20$

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12. 已知关于x的一元二次方程x²+mx+n＝0的两个实数根分别为x₁＝-2，x₂＝4，则m-n的值是（）

A、-10 B、10 C、-6 D、6

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13. 如图，一次函数y=-3x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．若矩形OCPD的面积为1时，则点P的坐标为（）

A、（ $\frac{1}{3}$ ， 3） B、（ $\frac{1}{2}$ ， 2） C、（ $\frac{1}{2}$ ， 2）和（1，1） D、（ $\frac{1}{3}$ ， 3）和（1，1）

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14. 若正整数m使关于x的分式方程 $\frac{m}{(x + 2) (x - 1)} = \frac{x}{x + 2} - \frac{x - 2}{x - 1}$ 的解为正数，则符合条件的m的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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15. 甲、乙两地相距500km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.5倍，提速后行车时间比提速前减少10min，则可列方程为（　　）

A、 $\frac{500}{v} - \frac{1}{6} = \frac{500}{1.5 v}$ B、 $\frac{500}{v} = \frac{500}{1.5 v} - \frac{1}{6}$ C、 $\frac{500}{v} - 10 = \frac{500}{1.5 v}$ D、 $\frac{500}{v} = \frac{500}{1.5 v} - 10$

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16. 八年级学生去距学校15km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了30min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车同学的速度为x千米/时，则所列方程时（）

A、 $\frac{15}{2 x} + 30 = \frac{15}{x}$ B、 $\frac{15}{2 x} - 30 = \frac{15}{x}$ C、 $\frac{15}{2 x} + \frac{1}{2} = \frac{15}{x}$ D、 $\frac{15}{2 x} - \frac{1}{2} = \frac{15}{x}$

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17. 已知抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），对称轴为l：x＝1，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂）（x₁＜x₂），则|x₁﹣x₂|最小值为（）

A、4 B、4 $\sqrt{3}$ C、2 D、2 $\sqrt{3}$

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18. 对于两个不相等的实数 $a ， b$ ，我们规定符号 $max {a ， b}$ 表示 $a ， b$ 中较大的数，如 $\max {2 ， 4} = 4$ ，按这个规定，方程 $\max {x ， - x} = \frac{2 x + 1}{x}$ 的解为（）

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $1 - \sqrt{2} 或 1 + \sqrt{2}$ D、 $1 + \sqrt{2}$ 或-1

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19. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为（）

A、40 cm² B、20 cm² C、25 cm² D、10 cm²

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20. 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+ $\frac{1}{x}$ （x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 $\frac{1}{x}$ ，矩形的周长是2（x+ $\frac{1}{x}$ ）；当矩形成为正方形时，就有x= $\frac{1}{x}$ （0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+ $\frac{1}{x}$ ）=4最小，因此x+ $\frac{1}{x}$ （x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子 $\frac{x^{2} + 9}{x}$ （x＞0）的最小值是（）

A、2 B、1 C、6 D、10

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二、填空题

21. 疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第一周的订单数是5万件，第三周的订单数为7.2万件，如果设平均每周订单数的增长率为x，根据题意列方程为

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22. 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{2 x}{x - 4} = \frac{k}{x - 4}$ 会产生增根，则k的值为.

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23. 设a、b是方程 $x^{2} + x - 2022 = 0$ 的两个实数根，则 ${(a + 1)}^{2} + b$ 的值为.

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24. 如图所示，若将图1中的正方形剪成四块，恰能拼成图2中的长方形，设a=1，则b=

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25. 若 $x = 4$ 是关于 $x$ 的方程 $\frac{2 x - m}{x - 3} = 3$ 的解，则 $m$ 的值为．

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26. 若以x为未知数的方程 $\frac{1}{x - 1} - \frac{a}{2 - x} = \frac{2 (a + 1)}{x^{2} - 3 x + 2}$ 无解，则 $a =$ .

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27. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=1，CD=2，BC=m，点P是边BC上一动点，若△PAB与△PCD相似，且满足条件的点P恰有2个，则m的值为.

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28. 若数a使关于x的不等式组 ${\begin{cases} \frac{x}{3} - 1 \leq \frac{1}{2} (x - 1) \\ 2 x - a \leq 3 (1 - x) \end{cases}$ 有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程 $\frac{3 y}{y - 2} + \frac{a - 12}{2 - y}$ ＝1 有整数解，则满足条件的所有a的值之和是

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29. 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，P是边AB上的一个动点，过点P作PE⊥AB，交BC于点E，连接DP，DE.若AB＝8，△PDE是等腰三角形，则BP的长是.

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30. 若关于x的方程(a+1)x²+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程 $\frac{a x}{1 + x} - 1 = \frac{3}{x + 1}$ 的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是．

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31. 已知 $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ ＝ $\frac{1}{7}$ ，则 $\frac{x^{2}}{x^{4} - x^{2} + 1}$ ＝．

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32. 下列一组方程：① $x + \frac{2}{x} = 3$ ，② $x + \frac{6}{x} = 5$ ，③ $x + \frac{12}{x} = 7$ ，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为 $x_{1} = 1 ， x_{2} = 2$ ；第②个方程的解为 $x_{1} = 2 ， x_{2} = 3$ ；第③个方程的解为 $x_{1} = 3 ， x_{2} = 4$ .若n为正整数，且关于x的方程 $x + \frac{n^{2} + n}{x + 3} = 2 n - 2$ 的一个解是 $x = 7$ ，则n的值等于.

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三、计算题

33. 解方程

(1)、 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$

(2)、 $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$

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34. 解方程：

(1)、 $\frac{7}{x - 2} = \frac{5}{x}$

(2)、 $\frac{2 - x}{x - 3} + \frac{1}{3 - x} = 1$

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35. 解方程：

(1)、 $\frac{4}{x + 6} = \frac{1}{x}$

(2)、 $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ .

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36. 解下列方程：

(1)、x²+2x﹣4＝0（配方法）；

(2)、3x²﹣6x﹣2＝0（公式法）．

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37. 解分式方程： $\frac{7}{x^{2} + x} - \frac{3}{x - x^{2}} = 1 + \frac{7 - x^{2}}{x^{2} - 1}$

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四、解答题

38. 若方程（c²＋a²）x²＋2（b²-c²）x＋c²-b²=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形.

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39. 为支持“抗疫防病”工作，某口罩厂由甲、乙两车间承制防护型口罩，已知乙车间每天生产口罩数量是甲车间每天生产口罩数量的2倍．如果两车间各自生产600万只防护型口罩，乙车间比甲车间少用6天．求甲车间每天生产这种防护型口罩的数量．

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40. A、B两地相距480km，甲、乙两人同时从A地匀速驶往B地，已知甲的行驶速度是乙的行驶速度的1.2倍，甲比乙提前1h到达B地，求甲、乙两人的行驶速度各是多少？

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41. 北京市以 $2022$ 年冬奥会和冬残奥会为契机，大力提升城市服务保障能力，在永定河沿岸，紧邻北京冬奥组委和首钢滑雪大跳台建成冬奥公园．冬奥公园最大的亮点是拥有一条长 $42 k m$ 全封闭的马拉松跑道．马拉松线路设计很有创意，分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑．小明先进行了 $2 k m$ 智慧跑，接着进行了 $4 k m$ 堤上跑，共用时 $40$ 分钟．已知小明在堤上跑路段的平均速度是他在智慧跑路段的平均速度的 $1.5$ 倍，求小明在进行智慧跑和堤上跑时的平均速度．

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42. 若关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{m}{x - 3}$ 的解是正数，当m取最大整数时，求 $m^{2} + 2 m + 1$ 的平方根．

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43. 解分式方程 $\frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 6}{x + 7} = \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{x + 5}{x + 6}$

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44. 在实数范围内只有一个实数是关于x的方程 $\frac{k (x - 1)}{x} + \frac{2 k + 1}{x^{2} + x} = 1 + \frac{2 k}{x + 1}$ 的根，求实数k的所有可能值.

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45. 阅读下面的例题：解方程x²﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x²﹣x﹣2＝0，解得：x₁＝2，x₂＝﹣1（不合题意，舍去）；

当x＜0时，原方程化为x²+x﹣2＝0，解得：x₁＝1，（不合题意，舍去）x₂＝﹣2；

∴原方程的根是x₁＝2，x₂＝﹣2．

请参照例题解方程x²﹣|x﹣1|﹣1＝0．

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46. 如图1，在△ABC的外接圆⊙O中，AB=5是⊙O的直径，CD⊥AB ，垂足为D ，且CD=2，E为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点．连接CE交AB于点P ，其中AD>BD ．
图1 图2

(1)、连接OE ，求证：OE⊥AB；

(2)、若线段AD与BD的长分别是关于x的方程x²－(m+2)x+n－1=0的两个根，求m ， n的值；

(3)、如图2，过P点作直线l分别交射线CA ， CB(点C除外)于点M ， N ，则 $\frac{1}{C M} + \frac{1}{C N}$ 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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