重庆市北碚区西南大学附中2021年中考数学四模试卷

试卷更新日期：2022-03-30 类型：中考模拟

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一、单选题

1. sin60°=（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 某一次函数的图象与y轴交于正半轴，这个一次函数的表达式可能是（）

A、 $y = - 2 x$ B、 $y = - 2 x - 2$ C、 $y = - 2 x + 2$ D、 $y = 2 x - 1$

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3. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠BDC的度数是（　　）

A、20° B、30° C、40° D、45°

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4. 函数y＝ $\frac{x}{3 - x}$ 中自变量x的取值范围是（）

A、x≥3 B、x≤3 C、x≠3 D、x＞3

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5. 若x＝2021是关于x的一元二次方程ax²﹣2bx﹣1＝0的一个根，则2020﹣4042b+2021²a的值为（　　）

A、2019 B、2020 C、2021 D、2022

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6. 下列各项变形是因式分解的是（）

A、 $5 - m^{2} = (5 + m) (5 - m)$ B、 $x + 1 = x (1 + \frac{1}{x})$ C、 $(a - 1) (a - 2) = a^{2} - 3 a + 2$ D、 $a^{2} + 4 a + 4 = {(a + 2)}^{2}$

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7. 如图，在直角坐标系中， $△ O A B$ 的顶点为 $O (0 ， 0)$ ， $A (4 ， 3)$ ， $B (3 ， 0)$ ．以点O为位似中心，在第三象限内作与 $△ O A B$ 的位似比为 $\frac{1}{3}$ 的位似图形 $△ O C D$ ，则点C的坐标为（）

A、 $(- 1 ， - 1)$ B、 $(- \frac{4}{3} ， - 1)$ C、 $(- 1 ， - \frac{4}{3})$ D、 $(- \frac{3}{4} ， - 1)$

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8. 下列各命题是真命题的是（）

A、矩形的对称轴是两条对角线所在的直线 B、平行四边形一定是中心对称图形 C、有一个内角为60°的平行四边形是菱形 D、三角形的外角等于它的两个内角之和

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9. 我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30 $\sqrt{5}$ 米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i=1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（　　）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

A、60 B、70 C、80 D、90

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10. 一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．则点C的纵坐标是（　　）

A、260 B、280 C、300 D、320

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11. 如果关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x \leq \frac{24 + 5 x}{3} \\ 4 x - 6 > a - 4 \end{array}$ 有且只有四个整数解，且关于x的分式方程 $\frac{a x - 1}{4 - x} + \frac{27}{x - 4} = - 8$ 的解为非负数，则符合条件的所有整数a的个数（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，0），D为AO上一点，连接BD，CD，OB，CD与OB相交于点E，取EC的三等分点F（EF＞FC），连接OF并延长，交BC于点G，已知S_△BOD：S_△BOC＝2：3，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0）经过D，G两点，则k的值为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{21}}{25}$ B、 $\frac{2 \sqrt{21}}{5}$ C、 $\frac{8 \sqrt{29}}{25}$ D、 $\frac{2 \sqrt{29}}{5}$

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二、填空题

13. 2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为．

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14. 计算： $π^{0} + | 1 - 2 \sqrt{3} | - {(\frac{1}{2})}^{- 1} =$ ．

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15. 两个人做游戏，每个人都从 $- \frac{1}{2}$ ， 1， $\frac{1}{2}$ 这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的三个数绝对值相等的概率为．

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16. 如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作 $\overset{⌢}{D E}$ ，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为．

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17. △ABC中，∠BAC=45°，D为AB上一点，BD=10 $\sqrt{2}$ ，连接CD，将△CBD沿CD翻折至△CDF，点B的对应点F点恰好落在边AC上．延长CA至点E，连接DE，若AE=2，tan∠BCD= $\frac{1}{2}$ ，则DE长为．

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18. 为让市民感受春天，中央公园管委会决定圈出一块地打造一片花园，花园中种植桃花，樱花，李花供市民欣赏．经过一段时间，花园中已种植的桃花，樱花，李花面积之比为 $5 ： 4 ： 6$ ．根据市民的喜爱程度，将在花园的余下空地继续种植这三种花，经测算需将余下土地面积的 $\frac{8}{15}$ 种植李花，则李花种植的总面积将达到这三种花种植总面积的 $\frac{23}{45}$ ．为使桃花种植总面积与樱花种植总面积之比达到 $4 ： 5$ ，则花园内种植樱花的面积与花园内种植这三种花的总面积之比是．

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三、解答题

19.

(1)、 $(2 x + y) (2 x - y) - {(x - 3 y)}^{2}$

(2)、 $(\frac{5}{a - 2} - a - 2) \div \frac{3 - a}{4 - 2 a}$

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20. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD//BC

(1)、在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F.（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、连接DF，证明四边形ABFD为菱形.

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21. 某公司在国内有多家门店，共有600名销售人员，为了解该公司各门店销售人员上个月的销售业绩，随机抽取了甲、乙两个门店各30名销售人员在上月的销售数量，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：

①数据分为五组，分别为A组：x≤40，B组：40＜x≤60，C组：60＜x≤80，D组：80＜x≤100，E组：x＞100；

②样本中甲、乙两门店的最高销售数量都是120件，甲店的最低数量比乙店少两件；

③甲店C组数据：62，69，71，69，78，73，69，79，78，68

乙店C组数据：78，76，69，62，69，71，80，69，73，79，75

④两组数据的平均数、中位数、众数、极差（单位：件）如表所示：

	平均数	中位数	众数	极差
甲店	70	69	69	b
乙店	70	a	69	86

⑤甲店销售数量频数分布直方图和乙店销售数量扇形统计图如下：

(1)、扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数为，中位数a＝，极差b＝；

(2)、通过以上的数据分析，你认为甲、乙两个门店哪个门店的销售人员上月的业绩更好，并说明理由；

(3)、若该公司计划将上月销售数量在80件以上（不含80）的员工评为“优秀销售员”，请你估计该公司能评为“优秀销售员”的人数．

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22. 有这样一个问题：探究函数y＝

\frac{2 x + a}{x + b}

的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行例研究，已知当x＝2时，y＝7，

x = 0

时，y＝﹣3．下面是小童探究的过程，请补充完整：

(1)、该函数的解析式为　　， m＝　　， n＝　　．

根据图中描出的点，画出函数图象．

x	…	﹣4	﹣3	﹣2	0	2	3	4	…
y	…	m	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{3}$	﹣3	7	n	$\frac{11}{3}$	…

(2)、根据函图象，下列关于函数性质的描述正确的是；

①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点．

②该函数既无最大值也无最小值．

③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小．

(3)、请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式

\frac{2 x + a}{x + b} - 2 x - 2 \geq 0

的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2）

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23. 为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻得A、B两个社区计划共种植78棵，已知A社区每天可以种植6棵树，B社区每天可以种植12棵树．

(1)、由于人员调动，要求B社区种植天数至少是A社区种植天数的1 $\frac{2}{3}$ 倍，当种植结束时，A社区至多种植多少天？

(2)、A、B两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问A社区最多种植天数基础上，B社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，种植天数比（1）问中A社区最多天数多5a%，B社区每天种植棵树下降a%，种植天数比（1）问中B社区最少种天数多（ $\frac{1}{2}$ a+30）%，求a的值．

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24. 定义：对任意一个三位数a，如果a满足百位数字与十位数字相同，个位数字与十位数字不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“半异数”，将一个“半异数”的各个数位上的数字交换后得到新的三位数，把所有的新三位数的和与111的商记为f（a）．例如：a=112，a为“半异数”，将a各个数位上的数字交换后得到新的三位数有121、211、112，所有新三位数的和为121+211+112=444，和与111的商为444÷111=4．所以f（112）=4，根据以上定义，回答下列问题：

(1)、计算f（227）；

(2)、数p，q是两个三位数，它们都有“半异数”，p的个位数是3，q的个位数字是5，p≤q．规定 $k = \frac{p}{q}$ ，若f （p）+f（q）的和是13的倍数，求k的最大值．

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25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于C点，且OC＝3OB，连接OD．

(1)、求抛物线解析式；

(2)、P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标．

(3)、在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形

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26. 如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB=BC=6，过点B作BD⊥AC交AC于点D，点E、F分别是线段AB、BC上两点，且BE=BF，连接AF交BD于点Q，过点E作EH⊥AF交AF于点P，交AC于点H．

(1)、若BF＝4，求△ADQ的面积；

(2)、求证：CH＝2BQ；

(3)、如图2，BE＝3，连接EF，将△EBF绕点B在平面内任意旋转，取EF的中点M，连接AM，CM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得线段AN，连接MN、CN，过点N作NR⊥AC交AC于点R，当线段NR的长最小时，直接写出△CMN的周长．

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