上海市2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-03-30 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | x \in Z ， x^{2} < 4}$ ， $B = {- 1 ， 2}$ ，则 $A ∪ B =$ .

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2. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2})$ ，且 $t a n α = \sqrt{2}$ ，那么 $s i n α =$

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3. 若复数z满足 $\frac{z}{1 + i} = i$ ，则z对应的点位于第象限.

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4. 已知对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $x > m - \frac{1}{x}$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值是.

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5. ${(x^{3} - \frac{1}{2 x^{2}})}^{n}$ 的展开式共有11项，则常数项为.

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6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角 $α$ 与 $β$ 角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB，射线OA，OC与单位圆的交点分别为 $A (\frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ， $C (- 1 ， 0)$ ．若 $∠ B O C = \frac{π}{6}$ ，则 $c o s (β - α)$ 的值是．

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7. 如图1，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，M，N，Q分别是线段 $A D_{1} ， B_{1} C ， C_{1} D_{1}$ 上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为.

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8. 某大学计算机系4名学生和英语系的4名学生准备利用暑假到某偏远农村学校进行社会实践活动，现将他们平均分配到四个班级，则每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率是.

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9. 已知直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为 $4 a^{2}$ ，则双曲线的渐近线方程为.

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = \frac{n - 1}{(n + 1)^{2}}$ ，则下列说法正确的序号是.
①此数列没有最大项；②此数列的最大项是 $a_{3}$ ；
③此数列没有最小项；④此数列的最小项是 $a_{4}$ .

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11. 已知方程 $l o g_{2} x + l o g_{2} y = l o g_{2} (x + y)$ ，以下说法正确的是.
（1）此方程中 $x$ ， $y$ 的取值范围都是 $(0 ， + ∞)$ ；
（2）此方程所对应图像关于 $y = x$ 对称；
（3） $\exists m > 1$ ，对 $\forall x \in (m ， + \infty)$ ，存在 $M \in R$ ，使 $y < M$ .

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12. 已知平面向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{e_{1}} | = | \vec{e_{2}} | = | \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} | = 1$ ， ${\vec{c}}^{2} - (2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}) \cdot \vec{c} + \frac{3}{2} = 0$ ，则对任意的 $t \in R$ ， $| \bar{c} - t {\bar{e}}_{1} |$ 的最小值记为M，则M的最大值为.

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二、单选题

13. 已知 $f (x)$ 是定义在上 $[0, 1]$ 的函数，那么“函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增”是“函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的最大值为 $f (1)$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A C} = 3 \vec{A D}$ ， $\vec{B E} = \vec{E D}$ ，设 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C} (λ ， μ \in R)$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 2$ ，且 $S_{4} = S_{7}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 为递增数列 B、当且仅当 $n = 5$ 时， $S_{n}$ 有最大值 C、不等式 $S_{n} > 0$ 的解集为 ${n \in N^{*} ∣ n \leq 10}$ D、不等式 $a_{n} > 0$ 的解集为 $R$

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16. 已知定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 的周期为2，且 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ .若函数 $F (x) = f (x) - \sin \frac{π}{2} x$ 在区间 $[- 3 ， m]$ （ $m \in Z$ 且 $m > - 3$ ）上至少有5个零点，则 $m$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s (2 x - \frac{π}{3}) - 2 s i n x c o s x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[m ， 0]$ 上的最小值为 $- 1$ ，求 $m$ 的最大值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，且 $a_{4} = b_{5} = 1$ .设 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ､ ${b_{n}}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = | \frac{S_{n}}{n} a_{n} |$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在四棱锥P – ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD ⊥ CD，AD // BC，PA = AD = CD = 2，BC = 3．E为PD的中点，点F在PC上，且 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求证：CD⊥平面PAD；

(2)、求二面角F – AE – P的余弦值；

(3)、设点G在PB上，且 $\frac{P G}{P B} = \frac{3}{4}$ ．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，焦距与长轴之比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $A$ 、 $B$ 分别是椭圆 $C$ 的上、下顶点， $M$ 是椭圆 $C$ 上异于 $A$ 、 $B$ 的一点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若点 $P$ 在直线 $x - y + 2 = 0$ 上，且 $\vec{B P} = 3 \vec{B M}$ ，求 $△ P M A$ 的面积；

(3)、过点 $M$ 作斜率为 $1$ 的直线分别交椭圆 $C$ 于另一点 $N$ ，交 $y$ 轴于点D，且点D在线段OA上（不包括端点 $O$ 、 $A$ ），直线 $N A$ 与直线 $B M$ 交于点 $P$ ，求 $\vec{O D} \cdot \vec{O P}$ 的值.

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21. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数 $x_{0}$ ，满足 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ ，则称 $f (x)$ 为“ $M$ 类函数”.

(1)、已知函数 $f (x) = 2 c o s (x - \frac{π}{3})$ ，试判断 $f (x)$ 是否为“ $M$ 类函数”？并说明理由；

(2)、设 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} - 3$ 是定义域 $R$ 上的“ $M$ 类函数”，求实数m的取值范围；

(3)、若 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} (x^{2} - 2 m x) ， x > 3 \\ - 2 ， x < 3 \end{array}$ 为其定义域上的“ $M$ 类函数”，求实数 $m$ 取值范围.

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