山西省2022届高三理数一模试卷

试卷更新日期：2022-03-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 5 x + 4 < 0}$ ， $N = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 $\emptyset$

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2. 设复数 $z$ 满足 $z \bar{z} = i z$ ，则 $z =$ （）

A、-i B、-1 C、0或-1 D、0或-i

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3. 设 $P_{1} (1 - s i n α ， 0)$ ， $P_{2} (0 ， - c o s α)$ ，则 $| \vec{O P_{1}} - \vec{O P_{2}} |$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体各个表面中面积的最大值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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5. 已知命题 $p ： \forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x - s i n x > 0$ ；命题 $q ： \forall a \in R$ ， $f (x) = l o g_{(a^{2} + 2)} x$ 在定义域上是增函数.则下列命题中的真命题是（）

A、 $p \land q$ B、 $\neg p \land q$ C、 $p \land \neg q$ D、 $\neg (p \lor q)$

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6. ${(3 x^{3} - \frac{1}{2 x})}^{4}$ 展开式中的常数项是（）

A、 $- \frac{27}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{27}{2}$

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7. 设 $a = l n 3$ ， $b = \sqrt{3} l n 2$ ， $c = \sqrt{2} l n 3$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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8. “三分损益法”是古代中国制定音律时所用的生律法．三分损益包含“三分损一”“三分益一”．取一段弦，“三分损一”即均分弦为三段，舍一留二，便得到 $\frac{2}{3}$ 弦．“三分益一”即弦均分三段后再加一段，便得到 $\frac{4}{3}$ 弦．以宫为第一个音，依次按照损益的顺序，得到四个音，这五个音的音高从低到高依次是宫、商、角、微、羽，合称“五音”.已知声音的音高与弦长是成反比的，那么所得四音生成的顺序是（）

A、微、商、羽、角 B、微、羽、商、角 C、商、角、微、羽 D、角、羽、商、徵

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 2 n^{2} + n$ ，将该数列排成一个数阵（如图），其中第n行有 $2^{n - 1}$ 个数，则该数阵第9行从左向右第8个数是（）

A、263 B、1052 C、528 D、1051

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10. 过双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为点A，交y轴于点B，若 $\vec{F A} = λ \vec{A B}$ ，则C的离心率是（）

A、 $λ$ B、 $\sqrt{λ}$ C、 $\sqrt{λ + 1}$ D、 $λ + 1$

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11. 如图①，在 $R t △ A B C$ 中， $C = \frac{π}{2}$ ， $A C = B C = 2$ ， D，E分别为 $A C$ ， AB的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} D ⊥ C D$ ，如图②.若F是 $A_{1} B$ 的中点，则四面体 $F C D E$ 的外接球体积是（）

A、 $2 π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{12} π$

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $[\frac{π}{3} ， π]$ 上恰有3个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{8}{3} ， \frac{11}{3}) ∪ (4 ， \frac{14}{3})$ B、 $[\frac{11}{3} ， 4) ∪ [\frac{14}{3} ， \frac{17}{3})$ C、 $[\frac{11}{3} ， \frac{14}{3}) ∪ (5 ， \frac{17}{3})$ D、 $[\frac{14}{3} ， 5) ∪ [\frac{17}{3} ， \frac{20}{3})$

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二、填空题

13. 曲线y＝xex＋1在点(0，1)处的切线方程是.

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14. 将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 有实根的概率为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $n (a_{n + 1} - a_{n}) = a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .若对于任意的 $n \in N^{*}$ ，不等式 $S_{n} < t$ 恒成立，则实数t的取值范围是.

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为椭圆上任意一点，过 $F_{2}$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点Q.抛物线 $y = \frac{1}{8} x^{2} + 2$ 上有一点M，它在x轴上的射影为点H，则 $| M H | + | Q M | + | F_{1} Q |$ 的最小值是.

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三、解答题

17. 如图，圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $∠ B C A = \frac{π}{4}$ .

(1)、求 $A C$ ；

(2)、求 $△ A C D$ 面积的最大值.

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18. 在如图所示的几何体中，平面 $A D N M ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A D N M$ 是矩形，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A B / / C D$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $2 A B = A D = C D = 2$ .

(1)、证明： $A N / /$ 平面 $M B C$ ；

(2)、设 $A M = \sqrt{3}$ ，求二面角 $M - B C - D$ 的余弦值.

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19. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(1 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ ， A，B分别是C的左、右顶点．

(1)、求C的方程；

(2)、已知过点 $G (1 ， 0)$ 的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．

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20. 已知函数 $f (x) = c o s x + \frac{a}{2} x^{2} + l n x$ ．

(1)、当 $a \geq \frac{1}{4}$ 时，证明： $f (x)$ 在定义域上是增函数；

(2)、记 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $g (x) = f^{'} (x) + 4 l n x - \frac{1}{x}$ ，若 $g (x)$ 在 $(\frac{3 π}{4} ， 2 π)$ 内没有极值点，求a的取值范围．（参考数据： $π^{2} \approx 10$ ， $π^{3} \approx 31$ ．）

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21. 甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为 $\frac{3}{5}$ ， $\frac{2}{5}$ ，且每局比赛的结果相互独立.

(1)、求甲夺得冠军的概率；

(2)、比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个.新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中.记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望.

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22. 在极坐标系中，O为极点，直线 $θ = α (α \in [0 ， π) ， ρ \in R)$ 与以点 $C (3 \sqrt{2} ， \frac{π}{4})$ 为圆心，且过点 $M (3 ， \frac{π}{2})$ 的圆相交于A，B两点．

(1)、求圆C的极坐标方程；

(2)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{O A}$ ，求 $s i n α + c o s α$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - a | + 2 | x + 1 |$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \geq 8$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 3$ 恒成立，求a的取值范围．

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